求组合图形面积的基本解法与思路(上)
求组合图形的面积是小学数学教学中的难点之一。这类题目由于熔识图分析、基本几何图形的特性及计算 、空间想象能力于一体,知识、能力的综合性强,故学生解题时往往感到无从下手,其重要原因就是没有掌握 这类题的解题思路和方法。下面就这个问题谈谈自己的一些体会。
(附图 {图})
例1.下面图中的三角形是等边三角形,边长是3厘米,求阴影部分的面积。
(附图 {图})
按上述方框图,本题的思维流程是:
(附图 {图})
组合图形可谓千变万化,但解题的基本思想是通过一定的方法,对图形进行“凑整”,使不能直接求解的 不规则图形转化为基本图形或其组合形式,然后根据已知条件进行加、减或直接计算。下面介绍一种思路程序 图,依据以下框图;引导学生按照一定的思维程序,迅速找到解题的最佳途径。
按思维流程图分析求解,目标明确,途径简捷,当然,在应用中不一定非要按此格式分析。在开始阶段, 可让学生按框图在心中用自问自答的方式分析,一旦熟练,就会运用自如。
如所求阴影部分不是基本图形,则需用分解、隔离、组合、平移、旋转、割补等方法将其转化成基本图形 或其相加减的形式,概括起来可分为两类。
1.分解、隔离、组合
此类方法是对原图进行分或合的处理,使其组合的规律和结构特征进一步显露出来,以利求解。
例2.下图是一个等腰三角形,并且有一个内角是直角,求阴影部分的面积(单位:分米)。
(附图 {图})
按思维流程图,引导学生对原图进行这样分析:所求阴影部分是学过的基本图形吗?(不是)是由基本图 形组合而成的吗?(是)有几个基本图形?(两个。一个等腰直角三角形,一个扇形)是怎样组合成阴影部分 的?(三角形面积减去一个扇形面积)各图形求面积的基本条件是否具备?(具备。三角形的底和高都是6分 米,扇形的圆心角是45°,半径是6分米)至此,通过分解,从未知到已知,使问题得到解决。
例3.求右图阴影部分面积。(单位:厘米)
(附图 {图})
此题可以这样引导学生分析:阴影部分是不是基本图形?(不是)图中有哪些基本图形?(两个扇形,一 个长方形)各图形求面积的条件是否具备?(具备)阴影部分能否和别的图形组成一个基本图形?(能)这个 图形是什么?(图中大空白部分与阴影部分组成了一个大扇形)要求阴影部分面积只需求出哪一部分面积?( 图中大空白部分)这一部分面积又该怎样求呢?至此,学生明白,解题的关键是要求出图中大空白部分面积。 这时,可将这部分图分离出来单独研究,这就是所谓的隔离法,如右图所示。
(附图 {图})
这样就很清楚看出,空白部分为长方形与扇形之差,其面积为:2×4.85-3.14×2[2]×1 /4=6.56(平方厘米),原题即可迎刃而解。
例4.求下图阴影部分的面积。(单位:厘米)
(附图 {图})
按前面的思维流程图进行分析,本题可分解成相对独立的两个子问题分别求解后,再加起来。
(附图 {图})也可将图中两阴影部分重新组合成一个完整的基本图形来考虑,如:
(附图 {图})
可见,对于一般求组合图形的问题,其求解途径是比较多的,但要注意启发学生寻求最简的解题方法。总 而言之,分解、隔离、组合是解答基本组合图形问题最常用、最有效的方法。一般来说,凡基本组合图形问题 ,只要适当分一分、隔一隔、合一合,都可以得到正确解题途径和方法。
2、平移、旋转、割补
此类方法是通过对图形的平行移动、定点或定轴旋转、割补等手段,使不规则、零散的图形变成基本图形 或其它便于求解的形式。
例5.求下列各图阴影部分面积。
(附图 {图})
(图1)
(图2)
(图3)
图1将左边阴影部分向右边阴影部分平移靠拢可转变成一个完整正方形,这种方法即平移法。
图2将右边半圆阴影部分以C为定点向左旋转90°就可变成一个完整的扇形,这种方法即是定点或定轴 旋转法。
图3将左边半圆阴影部分按虚线分割下来补于右边,则阴影部分转变成一个完整长方形,这种方法即为割 补法。
对一些较复杂的组合图形问题,还需要应用一些特殊解法,本文将在下一部分作详细介绍。
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