高二数学算术平均数与几何平均数教案_教学设计

高二数学算术平均数与几何平均数教案

教学目标

(1)掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一重要定理;

(2)能运用定理证明不等式及求一些函数的最值;

(3)能够解决一些简单的实际问题;

(4)通过对不等式的结构的分析及特征的把握掌握重要不等式的联系;

(5)通过对重要不等式的证明和等号成立的条件的分析，培养学生严谨科学的认识习惯，进一步渗透变量和常量的哲学观;

教学建议

1.教材分析

(1)知识结构

本节根据不等式的性质推导出一个重要的不等式：，根据这个结论，又得到了一个定理：，并指出了为的算术平均数，为的几何平均数后，随后给出了这个定理的几何解释。(2)重点、难点分析

本节课的重点内容是掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数掌握两个正数的和为定值时积有最大值，积为定值时和有最小值的结论，教学难点是正确理解和使用平均值定理求某些函数的最值.为突破重难点，教师单方面强调是远远不够的，只有让学生通过自己的思考、尝试，注意到平均值定理中等号成立的条件，发现使用定理求最值的三个条件一正，二定，三相等缺一不可，才能大大加深学生对正确使用定理的理解，教学中要注意培养学生分析归纳问题的能力，帮助学生形成知识体系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解决实际问题的方法.

㈠定理教学的注意事项

在公式以及算术平均数与几何平均数的定理的教学中，要让学生注意以下两点： (1)和成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数。例如成立，而不成立。(2)这两个公式都是带有等号的不等式，因此对其中的当且仅当时取=号这句话的含义要搞清楚。教学时，要提醒学生从以下两个方面来理解这句话的含义：

当时取等号，其含义就是：仅当时取等号，其含义就是：综合起来，其含义就是：是的充要条件。(二)关于用定理证明不等式

当用公式，证明不等式时，应该使学生认识到：它们本身也是根据不等式的意义、性质或用比较法(将在下一小节学习)证出的。因此，凡是用它们可以获证的不等式，一般也可以直接根据不等式的意义、性质或用比较法证明。

(三)应用定理求最值的条件

应用定理时注意以下几个条件：

(1)两个变量必须是正变量;

(2)当它们的和为定值时，其积取得最大值;当它们的积是定值时，其和取得最小值;

(3)当且仅当两个数相等时取最值.

即必须同时满足正数、定值、相等三个条件，才能求得最值.

在求某些函数的最值时，还要注意进行恰当的恒等变形、分析变量、配置系数.

(四)应用定理解决实际问题的分析

在应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理解决这类实际问题时，要让学生注意;

(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数;