直接开平方法
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直接开平方法
教学内容
运用直接开平方法,即根据平方根的意义把一个一元二次方程降次,转化为两个一元一次方程.
教学目标
理解一元二次方程降次──转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题.
提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.
重难点关键
1.重点:运用开平方法解形如(x+m)2=n(n0)的方程;领会降次──转化的数学思想.
2.难点与关键:通 过根据平方根的意义解形如x2=n,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n0)的方程.
教学过程
一、复习引入
学生活动:请同学们完成下列各题
问题1.填空
(1)x2-8x+______=(x-______)2;(2)9x2+12x+_____=(3x+_____)2;(3)x2+px+_____=(x+______)2.
问题2.如图,在△ABC中,B=90,点P从点B开始,沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始,沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果AB=6cm,BC=12cm,P、Q都从B点同时出发,几秒后△PBQ的面积等于8cm2?
问题1:根据完全平方公式可得:(1)16 4;(2)4 2;(3)( )2 .
问题2:设x秒后△PBQ的面积等于8cm2
则PB=x,BQ=2x
依题意,得: x2x=8
x2=8
根据平方根的意义,得x=2
即x1=2 ,x2=-2
可以验证,2 和-2 都是方程 x2x=8的两根,但是移动时间不能是负值.
所以2 秒后△PBQ的面积等于8cm2.
二、探索新知
上面我们已经讲了x2=8,根据平方根的意义,直接开平方得x=2 ,如果x换元为2t +1,即(2t+1)2=8,能否也用直接开平方的方法求解呢?
即2t+1=2 ,2t+1=-2
方程的两根为t1= - ,t2=- -
例1:解方程:x2+4x+4=1
分析:很清楚,x2+4x+4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x+2)2=1.
解:由已知,得:(x+2)2=1
直接开平方,得:x+2=1
即x+2=1,x+2=-1
所以,方程的两根x1=-1,x2=-3
例2.市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m,求每年人均住房面积增长率.
分析:设每年人均住房面积增长率为x.一年后人均住房面积就应该是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面积就 应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2
解:设每年人均住房面积增长率为x,
则: 10(1+x)2=14.4
(1+x)2=1.44
直接开平方,得1+x= 1.2
即1+x=1.2,1+x=-1.2
所以,方程的两根是x1=0.2=20%,x2=-2.2
因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2=-2.2应舍去.
所以,每年人均住房面积增长率应为20%.
(学生小结)老师引导提问:解一元二次方程,它们的共同特点是什么?
共同特点:把一个一元二次方程降次,转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为降次转化思想.
三、巩固练习
教材P36 练习.
四、应用拓展
例3.某公司一月份营业额为1万元,第一季度总营业额为3.31万元,求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少?
分析:设该公司二、三月份营业额平均增长率为x,那么二月份的营业额就应该是(1+x),三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的,应是(1+x)2.
解:设该公司二、三月份营业额平均增长率为x.
那么1+(1+x)+(1+x)2=3.31
把(1+x)当成一个数,配方得:
(1+x+ )2=2.56,即(x+ )2=2.56
x+ =1.6,即x+ =1.6,x+ =-1.6
方程的根为x1=10%,x2=-3.1
因为增长率为正数,
所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%.
五、归纳小结
本节课应掌握:
由应用直接开平方法解形如x2=p(p0),那么x= 转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p0),那么mx+n= ,达到降次转化之目的.
六、布置作业
1.教材P 45 复习巩固1、2.
2.选用作业设计:
[来源:学科网]
一、选择题
1.若x2-4x+p=(x+q)2,那么p、q的值分别是( ).
A.p=4,q=2 B.p=4,q=-2 C.p=-4,q=2 D.p=-4,q=-2
2.方程3x2+9=0的根为( ).
A.3 B.-3 C.3 D.无实数根
3.用配方法解方程x2- x+1=0正确的解法是( ).
A.(x- )2= ,x=
B.(x- )2=- ,原方程无解
C.(x- )2= ,x1= + ,x2=
D.(x- )2=1,x1= ,x2=-
二、填空题
1 .若8x2-16=0,则x的值是_________.
2.如果方程2(x-3)2=72,那么,这个一元二次方程的两根是________.
3.如果a、b为实数,满足 +b2-12b+36=0,那么ab的值是_______.
三、综合提高题
1.解关于x的方程(x+m)2=n.
2.某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长2 5m),另三边用木栏围成,木栏长40m.
(1)鸡场的面积能达到180m2吗?能达到200m吗?
(2)鸡场的面积能达到210m2吗?
3.在一次手工制作中,某同学准备了一根长4米的铁 丝,由于需要,现在要制成一个矩形方框,并且要使面积尽可能大,你能帮助这名同学制成方框,并说明你制作的理由吗?
答案:
一、1.B 2.D 3.B
二、1. 2.9或-3 3.-8
三、1.当n0时,x+m= ,x1= -m,x2=- -m. 当n0时,无解
2.(1)都能达到.设宽为x,则长为40-2x,
依题意,得:x(40-2x)=180
整理,得:x2-20x+90=0,x1=10+ ,x2=10- ;
同理x(40-2x)=200,x1=x2=10,长为40-20=20.
(2)不能达到.同理x(40-2x)=210,x2-20x+105=0,
b2-4ac=400-410=-100,无解,即不能达到.
3.因要制矩形方框,面积尽可能大,
所以,应是正方形,即每边长为1米的正方形.
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