二次函数的图象
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二次函数的图象
本节课在二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象的基础上,进一步研究y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象,并探索它们之间的关系和各自的性质.旨在全面掌握所有二次函数的图象和性质的变化情况.同时对二次函数的研究,经历了从简单到复杂,从特殊到一般的过程:先是从y=x2开始,然后是y=ax2,y=ax2+c,最后是y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k,y=ax2+bx+c.符合学生的认知特点,体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性.
在教学中,主要是让学生自己动手画图象,通过自己的观察、交流、对比、概括和反思[
等探索活动,使学生达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解.并能利用它的性质解决问题.
2.4二次函数y=ax2+bx+c的图象(一)
教学目标
(一)教学知识点[
1.能够作出函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象,并能理解它与y=ax2的图象的关系.理解a,h,k对二次函数图象的影响.
2.能够正确说出y=a(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(二)能力训练要求
1.通过学生自己的探索活动,对二次函数性质的研究,达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解.
2.经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程,培养学生的探索能力.
(三)情感与价值观要求
1.经历观察、猜想、总结等数学活动过程,发展合情推理能力和初步的演绎推理能力,能有条理地、清晰地阐述自己的观点.
2.让学生学会与人合作,并能与他人交流思维的过程和结果.
教学重点[来源:Www.zk5u.com]
1.经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的作法和性质的过程.
2.能够作出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象,并能理解它与y=ax2的图象的关系,理解a、h、k对二次函数图象的影响.
3.能够正确说出y=a(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
教学难点
能够作出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象,并能够理解它与y=ax2的图象的关系,理解a、h、k对二次函数图象的影响.
教学方法
探索比较总结法.
教具准备
投影片四张
第一张:(记作2.4.1 A)
第二张:(记作2.4.1 B)
第三张:(记作2.4.1 C)
第四张:(记作2.4.1 D)
教学过程
Ⅰ.创设问题情境、引入新课
[师]我们已学习过两种类型的二次函数,即y=ax2与y=ax2+c,知道它们都是轴对称图形,对称轴都是y轴,有最大值或最小值.顶点都是原点.还知道y=ax2+c的图象是函数y=ax2的图象经过上下移动得到的,那么y=ax2的图象能否左右移动呢?它左右移动后又会得到什么样的函数形式,它又有哪些性质呢?本节课我们就来研究有关问题.
Ⅱ.新课讲解
一、比较函数y=3x2与y=3(X-1)2的图象的性质.
投影片:(2.4 A)
(1)完成下表,并比较3x2和3(x-1)2的值,
它们之间有什么关系?
X -3 -2 -1 0 1 2 3 4
3x2
3(x-1)2
(2)在下图中作出二次函数y=3(x-1)2的图象.你是怎样作的?
(3)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
(4)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而减小?
[师]请大家先自己填表,画图象,思考每一个问题,然后互相讨论,总结.
[生](1)第二行从左到右依次填:27.12,3,0,3, 12,27,48;第三行从左到右依次填48,27,12,3,0,3, 12,27.
(2)用描点法作出y=3(x-1)2的图象,如上图.
(3)二次函数)y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象形状相同,开口方向也相同,但对称轴和顶点坐标不同,y=3(x-1)2的图象的对称轴是直线x=1,顶点坐标是(1,0).
(4)当x1时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大,x1时,y=3(x-1)2的值随x值的增大而减小.
[师]能否用移动的观点说明函数y=3x2与y=3(x-1)2的图象之间的关系呢?
[生]y=3(x-1)2的图象可以看成是函数)y=3x2的图象整体向右平移得到的.
[师]能像上节课那样比较它们图象的性质吗?
[生]相同点:
a.图象都中抛物线,且形状相同,开口方向相同.
b. 都是轴对称图形.
c.都有最小值,最小值都为0.
d.在对称轴左侧,y都随x的增大而减小.在对称轴右侧,y都随x的增大而增大.
不同点:
a.对称轴不同,y=3x2的对称轴是y轴y=3(x-1)2的对称轴是x=1.
b. 它们的位置不问.[来源:Www.zk5u.com]
c. 它们的顶点坐标不同. y=3x2的顶点坐标为(0,0),y=3(x-1)2的顶点坐标为(1,0),
联系:
把函数y=3x2的图象向右移动一个单位,则得到函数y=3(x-1)2的图像.
二、做一做
投影片:(2.4.1 B)
在同一直角坐标系中作出函数y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.并比较它们图象的性质.
[生]图象如下
它们的图象的性质比较如下:
相同点:
a.图象都是抛物线,且形状相同,开口方向相同.
b. 都足轴对称图形,对称轴都为x=1.
c. 在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随x的增大而增大.
不同点:
a.它们的顶点不同,最值也不同.y=3(x-1)2的顶点坐标为(1.0),最小值为0.y=3(x-1)2+2的顶点坐标为(1,2),最小值为2.
b. 它们的位置不同.
联系:
把函数y=3(x-1)2的图象向上平移2个单位,就得到了函数y=3(x-1)2+2的图象.
三、总结函数y=3x2,y=3(x-1)2,y=3(x-1)2+2的图象之间的关系.
[师]通过上画的讨论,大家能够总结出这三种函数图象之间的关系吗?
[生]可以.
二次函数y=3x2,y=3(x-1)2,y=3(x-1)2+2的图象都是抛物线.并且形状相同,开口方向相同,只是位置不同,顶点不同,对称轴不同,将函数y=3x2的图象向右平移1个单位,就得到函数y=3(x-1)2的图象;再向上平移2个单位,就得到函数y=3(x-1)2+2的图象.
[师]大家还记得y=3x2与y=3x2-1的图象之间的关系吗?
[生]记得,把函数y=3x2向下平移1个平位,就得到函数y=3x2-1的图象.
[师]你能系统总结一下吗?
[生]将函数y=3x2的图象向下移动1个单位,就得到了函数y=3x2-1的图象,向上移动1个单位,就得到函数y=3x2+1的图象;将y=3x2的图象向右平移动1个单位,就得到函数y=3(x-1)2的图象:向左移动1个单位,就得到函数y=3(x+1)2的图象;由函数y=3x2向右平移1个单位、再向上平移2个单位,就得到函数y=3(x-1)2+2的图象.
[师]下面我们就一般形式来进行总结.
投影片:(2.4.1 C)
一般地,平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数为y=ax2+c,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k的图象.
(1)将y=ax2的图象上下移动便可得到函数y=ax2+c的图象,当c0时,向上移动,当c0时,向下移动.
(2)将函数y=ax2的图象左右移动便可得到函数y=a(x-h)2的图象,当h0时,向右移动,当h0时,向左移动.
(3)将函数y=ax2的图象既上下移,又左右移,便可得到函数y=a(x-h)+k的图象.
因此,这些函数的图象都是一条抛物线,它们的开口方向,对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.
下面大家经过讨论之后,填写下表:
y=a(x-h)2+k 开口方向 对称轴 顶点坐标
a0
a0
四、议一议
投影片:(2,4.1 D)
(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
(3)对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4呢?
[师]在不画图象的情况下,你能回答上面的问题吗?
[生](1)二次函数y=3(x+1)2的图象与y=3x2的图象形状相同,开口方向也相同,但对称轴和顶点坐标不同,y=3(x+1)2的图象的对称轴是直线x=-1,顶点坐标是(-1,0).只要将y=3x2的图象向左平移1个单位,就可以得到y=3(x+1)2的图象.
(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与y=-3x2的图象形状相同,只是位置不同,将函数y=-3x2的图象向右平移2个单位,就得到y=-3(x-2)2的图象,再向上平移4个单位,就得到y=-3(x-2)2+4的图象y=-3(x-2)2+4的图象的对称轴是直线x=2,顶点坐标是(2,4).
(3)对于二次函数y=3(x+1)2和y=3(x+1)2+4,它们的对称轴都是x=-1,当x-1时,y的值随x值的增大而减小;当x-1时,y的值随x值的增大而增大.
Ⅲ.课堂练习
随堂练习
Ⅳ.课时小结
本节课进一步探究了函数y=3x2与y=3(x-1)2,y=3(x-1)2+2的图象有什么关系,对称轴和顶点坐标分别是什么这些问题.并作了归纳总结.还能利用这个结果对其他的函数图象进行讨论.
Ⅴ.课后作业
习题2.4
Ⅵ.活动与探究
二次函数y= (x+2)2-1与y= (x-1)2+2的图象是由函数y= x2的图象怎样移动得到的?它们之间是通过怎样移动得到的?
解:y= (x+2)2-1的图象是由y= x2的图象向左平移2个单位,再向下平移1个单位得到的,y= (x-1)2+2的图象是由y= x2的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到的.
y= (x+2)2-1的图象向右平移3个单位,再向上平移3个单位得到y= (x-1)2+2的图象.
y= (x-1)2+2的图象向左平移3个单位,再向下平移3个单位得到y= (x+2)2-1的图象.
板书设计
4.2.1 二次函数y=ax2+bx+c的图象(一) 一、1. 比较函数y=3x2与y=3(x-1)2的
图象和性质(投影片2.4.1 A)
2.做一做(投影片2.4.1 B)
3.总结函数y=3x2,y=3(x-1)2y= 3(x-1)2+2的图象之间的关系(投影片2.4.1 C)
4.议一议(投影片2.4.1 D)
二、课堂练习
1.随堂练习
2.补充练习
三、课时小结
四、课后作业
备课资料
参考练习
在同一直角坐标系内作出函数y=- x2,y=- x2-1,y=- (x+1)2-1的图象,并讨论它们的性质与位置关系.
解:图象略
它们都是抛物线,且开口方向都向下;对称轴分别为y轴y轴,直线x=-1;顶点坐标分别为(0,0),(0,-1),(-1,-1).
y=- x2的图象向下移动1个单位得到y=- x2-1 的图象;y=- x2的图象向左移动1个单位,向下移动1个单位,得到y=- (x+1)2-1的图象.
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