三角形的内切圆
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三角形的内切圆
4.5 三角形的内切圆
【教师寄语】真正的聪明是能够忍辱负重。真正的智慧是懂得蓄势待发。真正的成功是最后掌声四起。真正的阶梯是永远拼搏!
【学习目标】
1.理解三角形内切圆的概念,掌握三角形内切圆的性质,能准确辨析内心和外心的不同
2.掌握画三角形的内切圆的方法,能借助三角形内切圆的性质解决有关几何问题。
3.应用类比的数学思想方法研究内切圆,逐步培养学生的研究问题能力;通过获得成功的经验和克服困难的经历,增进学生数学学习的信心。
【学习过程】
一、情境创设
试一试:
一张三角形铁皮,如何在它上面截一个面积最大的圆形铁皮。
分析:①让学生展开讨论,教师指导学生发现,实际上是作一个圆,使它和已知三角形铁皮的各边都相切.
②让学生展开充分的讨论,如何确定这个圆的圆心及半径?
③在此基础上,由学生形成作图题的完整过程。
二、探求新知
⒈本课知识点:
⑴和三角形各边都相切的圆叫做, 叫做三角形的内心,这个三角形叫做 .
⑵分别画出直角三角形和钝角三角形的内切圆.
小结:①一个三角形的内切圆是唯一的;
②内心与外心类比:
名称 确定方法 图形 性质
外心 三角形三边中垂线的交点
(1)OA=OB=OC;
(2)外心不一定在三角形的内部.
内心 三角形三条角平分线的交点
(1)到三边的距离相等;
(2)OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、
(3)内心在三角形内部.
⒉例题学习
例1、如图,△ABC中,内切圆I和边BC、CA、AB分别相
切于点D、E、F,B=60C=70.求EDF的度数。
三.再攀高峰
探究活动一 问题:如图,有一张三角形纸片,其中BC=6cm,AC=8cm,C=90.今需在△ABC中剪出一个半圆,使得此半圆直径在三角形一边上,并且与另两边都相切,请设计出所有可能方案,并通过计算说明如何设计使得此半圆面积最大,最大为多少?
探究活动二问题:如图1,有一张四边形ABCD纸片,且AB=AD=6cm,CB=CD=8cm,B=90.
(1)要把该四边形裁剪成一个面积最大的圆形纸片,你能否用折叠的方法找出圆心,若能请你度量出圆的半径;
(2)计算出最大的圆形纸片的半径(要求精确值).
四、达标测试
1.如图1,⊙O内切于△ABC,切点为D,E,F.已知B=50,C=60,连结OE,OF,DE,DF,那么EDF等于( )
A.40 B.55 C.65 D.70
图1 图2 图3
2.如图2,⊙O是△ABC的内切圆,D,E,F是切点,A=50,C=60则DOE=( )
A.70 B.110 C.120 D.130
3.如图3,△ABC中,A=45,I是内心,则BIC=( )
A.112.5 B.112 C.125 D.55
4.下列命题正确的是( )
A.三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等B.三角形的内心不一定在三角形的内部
C.等边三角形的内心,外心重合 D.一个圆一定有唯一一个外切三角形
5.在Rt△ABC中,C=90,AC=3,AB=5,则它的内切圆与外接圆半径分别为( )
A.1.5,2.5 B.2,5 C.1,2.5 D.2,2.5
6.如图,在△ABC中,AB=AC,内切圆O与边BC,AC,AB分别切于D,E,F.
(1)求证:BF=CE;
(2)若C=30,CE=2 ,求AC的长.
7.如图,⊙I切△ABC的边分别为D,E,F,B=70,C=60,M是 上的动点(与D,E不重合),DMF的大小一定吗?若一定,求出DMF的大小;若不一定,请说明理由.
五、非常演练
1.如图,在半径为R的圆内作一个内接正方形,然后作这个正方形的内切圆,又在这个内切圆中作内接正方形,依此作到第n个内切圆,它的半径是( )
A.( )nR B.( )nR C.( )n-1R D.( )
2.阅读材料:如图(1),△ABC的周长为L,内切圆O的半径为r,连结OA,OB,△ABC被划分为三个小三角形,用S△ABC表示△ABC的面积.
∵S△ABC =S△OAB +S△OBC +S△OCA
又∵S△OAB = ABr,S△OBC = BCr,S△OCA = ACr
S△ABC = ABr+ BCr+ CAr
= Lr(可作为三角形内切圆半径公式)
(1)理解与应用:利用公式计算边长分为5,12,13的三角形内切圆半径;
(2)类比与推理:若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆,如图(2)且面积为S,各边长分别为a,b,c,d,试推导四边形的内切圆半径公式;
(3)拓展与延伸:若一个n边形(n为不小于3的整数)存在内切圆,且面积为S,各边长分别为a1,a2,a3,an,合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由).
六、课堂小结
通过本节课的学习,
你认为要重点掌握的知识是_____________________________________________________,
在学习的过程中你的困惑有_____________________________________________________,
你对自己本节课的表现满意的地方是_____________________________________________。
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