2016年高考数学二轮复习空间向量难点提分专练
空间中具有大小和方向的量叫做空间向量,查字典数学网整理了空间向量难点提分专练,帮助广大高一学生学习数学知识!
难点 1利用空间向量解立几中的探索性问题
1.如图11-23,PD面ABCD,ABCD为正方形,AB=2,E是PB的中点,且异面直线DP与AE所成的角的余弦为。
试在平面PAD内求一点F,使EF平面PCB。
2.如图11-25,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,面ABCD是一个直角梯形,AB、CD为梯形的两腰,且AB=AD=AA1=a。
()如果截面ACD1的面种为S,求点D到平面ACD1的距离;
()当为何值时,平面AB1C平面AB1D1。证明你的结论。
难点 2利用空间向量求角和距离
已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=a,AA1=1。
(1)棱BC上是否存在点P,使A1PPD,说明理由;
(2)若BC上有且仅有一点P,使A1PPD,试求此时的二面角P-A1D-A的大小。
【易错点点睛】
易错点 1求异面直线所成的角
1.如图11-1,四棱锥PABCD的底面为直角梯形,ABDC,DAB=90,PA底面ABCD,且PA=AD=DC=AB=1,M是PB的中点。
(1)证明:面PAD面PCD;
(2)求AC与PB所成的角;
(3)求面AMC与面BMC所成二面角A-CM-B的大小。
A-MC-B为钝角,二面角A-CM-B的大小为。
2.如图11-2,在直四棱术ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,DC=2,AA1=,ADDC,ACBD,垂足为E。(1)求证BDA1C;
(2)求二面角A1-BD-C1的大小;
(3)求异面直线AD与BC1所成角的大小。
【特别提醒】
利用空间向量求异面直线所成的角,公式为cos关键是正确地建立坐标系进而写出各有关点的坐标,建立坐标会出现用三条
两两不垂直的直线作x轴、y轴、z轴的错误,还会出现用三条两两互相垂直但不过同一点的三条直线作x轴、y轴、z轴的错误。写点的
坐标也容易出现错误,学习时要掌握一些特殊点坐标的特点,如x轴上的点坐标为(a,0,0),xoz面上的点坐标为(a,0,b)等,其次还
应学会把某个平面单独分化出来,利用平面几何的知识求解,如本节的例2,求B的坐标。
【举一反三】
1.已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2a,高为b,求异面直线AC1和A1B所成的角。
2.如图11-4,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别是D1D,BD的中点,G在CD上,且CG=CD,H为C1G的中点。
(1)求证:EFB1C;
3.如图11-5 四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形,PA底面ABCD,PA=AB=1,BC=2。(1)求证:平面PAD平面PCD;
(2)若E是PD的中点,求异面直线AE与PC所成角的余弦值;
(3)在BC边上是否存在一点G,使得D点在平面PAG的距离为1,如果存在,求出BG的值;如果不存在,请说明理由。
易错点 2求直线与平面所成的角
1.如图在三棱锥PABC中,ABBC,AB=BC=KPA,点O、D分别是AC、PC的中点,OP底面ABC。
(1)当k=时,求直线PA与平面PBC所成角的大小;
(2)当k取何值时,O在平面PBC内的射影恰好为PBC的重心?
2.如图11-7,四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PD底面ABCD,AD=PD,E、F分别为CD、PB的中点。(1)求证EF平面PAB;
(2)设AB=BC,求AC与平面AEF所成的角的大小。
【特别提醒】求直线与平面所成角的公式为:sin=,其中a为直线上某线段所确定的一个向量,n为平面的一个法向量,这个公式很容易记错,
关键是理解,有些学生从数形结合来看,认为n应过直线上某个点,如例4中n应过C点,这是错误的,这里n是平面的任意一个法向量,
再说一个向量过某一个具体的点这种说法也是错误的。
【举一反三】
1如图11-9,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ACB=90AC=2,BC=6,D为A1B1的中点,异面直线CD与A1B垂直。
(1)求直三棱术ABC-A1B1C1的高;
2、如图,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长AB=2,侧棱BB1的长为4,过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E,交B1C于点F。(1)求证:A1C平面BED;
(2)求A1B与平面BDE所成的角是正弦值。
3、已知四棱锥P-ABCD(如图),底面是边长为2的正方形,侧棱PA底面ABCD,M、N别为AD、BC的中点,MQPD于Q,直线PC与平面PBA所成角的正弦值为(1)求证:平面PMN平面PAD;
(2)求PA的长;
(3)求二面角P-MN-Q的余弦值。
易错点 3 求二面角的大小
在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD底面ABCD,如图11-12。(1)证明:AB平面VAD;
(2)求二面角A-VD-B的大小。
如图11-14,已知三棱锥P-ABC中,E、F分别是AC、AB的中点,ABC、PEF
都是正三角形,PFAB。(1)证明:PC平面PAB;
(2)求二面角P-AB-C的平面角的余弦值;
(3)若点P、A、B、C在一个表面积为12的球面上,求ABC的边长。
【特别提醒】
利用空间向量求二面角,先求两平面的法向量,利用向量的夹角公式求出两法现量的夹角,二面角的平面角与法向量的夹角相等或互补,具体是哪一种,一般有两种判断方法:(1)根据图形判断二面角是锐角还是钝角;(2)根据两法向量的方向判断。实际上很多求二面角的题目,还是传统方法(如三垂线定理作出二面角的平面角)简单,或传统方法与空间向量相结合来解。
【举一反三】
如图,在三棱锥P-OAC中,OP、OA、OC两两互相垂直,且OP=OA=1,OC=2,B为OC的中点。(1)求异面直线PC与AB所成角的余弦值;
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