2016年广西理科高考复习专题练习:双曲线
为方便广大考生高考复习,查字典数学网整理了2016年广西理科高考复习专题练习:双曲线,希望能助各位考生一臂之力。
【典例1】 (1)(2014南京模拟)设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为________.
(2)(2014镇江质检)已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cosF1PF2=________.
(3)已知F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为________.
[解析] (1)由题意知曲线C2是以椭圆C1的焦点为焦点的双曲线,且2a=8,即a=4,
由椭圆的离心率知=,c=5,
b2=c2-a2=25-16=9,
曲线C2的标准方程为-=1.
(2)由x2-y2=2,知a=b=,c=2.
由双曲线定义,|PF1|-|PF2|=2a=2,
又|PF1|=2|PF2|,
|PF1|=4,|PF2|=2,
在PF1F2中,|F1F2|=2c=4,由余弦定理,得
cosF1PF2==.
(3)如图所示,设双曲线的右焦点为E,则E(4,0).由双曲线的定义及标准方程得|PF|-|PE|=4,则|PF|+|PA|=4+|PE|+|PA|.由图可得,当A,P、E三点共线时,(|PE|+|PA|)min=|AE|=5,从而|PF|+|PA|的最小值为9.
【变式训练1】 (1)(2013辽宁高考)已知F为双曲线C:-=1的左焦点,P,Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则PQF的周长为________.
(2)与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线,且过点M(2,-2)的双曲线方程为________.
(3)设P是双曲线-=1上一点,F1,F2分别是双曲线左、右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|=________.
[解析] (1)由双曲线方程知a=3,b=4,c=5.
|PQ|=2(2b)=16.
由左焦点F(-5,0),且A(5,0)恰为右焦点,
PQ过右焦点A,P,Q在双曲线的右支上,
根据双曲线定义,|PF|-|PA|=2a,|QF|-|QA|=2a,
|PF|+|QF|-(|PA|+|QA|)=4a,
于是|PF|+|QF|=|PQ|+4a=16+43=28.
故PQF的周长为28+|PQ|=28+16=44.
(2)设与双曲线-y2=1有公共渐近线的双曲线方程为-y2=k,将点(2,-2)代入得k=-(-2)2=-2.
双曲线的标准方程为-=1.
(3)由双曲线定义||PF1|-|PF2||=8,又|PF1|=9,|PF2|=1或17,但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c-a=6-4=21,|PF2|=17.
[答案] (1)44 (2)-=1 (3)17考向2 双曲线的几何性质(高频考点)
【典例2】 (1)(2014重庆高考)设F1,F2分别为双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得(PF1-PF2)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为________.
(2)(2014江西高考改编)过双曲线C:-=1的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为________.
[思路点拨] (1)由双曲线定义知|PF1-PF2|=2a,代入等式可得关于a,b的等式,再由c2=a2+b2,可得a,c的关系等式,进而由=e,求得e的值.
(2)设双曲线的右焦点为F,右顶点为B,找出A与O,B,F连线的几何关系,即可求出a,b的值.
[解析] (1)|PF1|-|PF2|=2a,
(2a)2=b2-3ab,即4a2=b2-3ab,即4a2+3ab-b2=0,
(4a-b)(a+b)=0,b=4a.
又c2=b2+a2,c2=17a2,e2=17,即e=.
(2)如图,设双曲线的右焦点为F,右顶点为B,设渐近线OA的方程为y=x,
由题意知,以F为半径的圆过点O,A,|FA|=|FO|=r=4.
ABx轴,A为直线AB与渐近线y=x的交点,
A点坐标为A(a,b).
在RtABO中,|OA|=
OAF为等边三角形且边长为4,B为OF的中点,
|OB|=a=2,|AB|=b=2,
双曲线的方程为-=1.
[答案] (1) (2)-=1,【通关锦囊】
【变式训练2】 (1)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的离心率为,则C的渐近线方程为________.
(2)(2014南京模拟)若双曲线-=1(a,b0)右支上一点P到左焦点的距离是到右准线距离的6倍,则该双曲线离心率的取值范围为________.
[解析] (1)由e==,设a=2k,c=k(k0),
由b2=c2-a2=k2,知b=k.所以=.
故渐近线方程为y=x.
(2)设双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,P到右准线的距离为d,则由题意知PF1=6d.又PF1-PF2=2a,PF2=6d-2a.由双曲线的第二定义得
=e,即=,d=,又da-,
整理得又=e,36或e2,又e1,
e(1,2][3,6).
[答案] (1)y=x (2)(1,2][3,6)
考向3 直线和双曲线的综合
【典例3】 已知双曲线C:-=1(a0,b0)的离心率为,右准线方程为x=.
(1)求双曲线C的方程;
(2)已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆x2+y2=5上,求m的值.
[解] (1)由题意,得解得a=1,c=,所以b2=c2-a2=2,所以所求双曲线C的方程为x2-=1.
(2)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0),
由得x2-2mx-m2-2=0(判别式0),
解得x1=m+,x2=m-,所以x0==m,y0=x0+m=2m.
点M(x0,y0)在圆x2+y2=5上,m2+(2m)2=5,m=1
[A级 基础达标练]
一、填空题
1.(2014苏州调研)已知双曲线x2-=1(m0)的离心率为2,则m的值为________.
[解析] a2=1,b2=m,c=,e===2,m=3.
[答案] 3
2.(2014苏锡常镇四市调研)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线-=1的一个焦点为(5,0),则实数m=________.
[解析] 由题设知a2=9,b2=m,9+m=25,m=16.
[答案] 16
3.(2014苏州四市期末检测)已知双曲线-=1的一条渐近线方程为2x-y=0,则该双曲线的离心率为________.
[解析] 由题意得=2,b=2a,c2=a2+b2=a2+4a2=5a2,
c=a,e==.
[答案]
4.(2014南通、扬州、泰州、连云港、淮安五市调研)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的离心率为,且过点(1,),则曲线C的标准方程为________.
[解析] 由离心率1知曲线C是双曲线.双曲线的离心率为,该双曲线为等轴双曲线,
设双曲线方程为x2-y2=m,将点(1,)坐标代入,得1-2=m,
m=-1故双曲线方程为y2-x2=1.
[答案] y2-x2=1
5.(2014徐州市、宿迁市质检)已知点P(1,0)到双曲线C:-=1(a0,b0)的一条渐近线的距离为,则双曲线C的离心率为________.
[解析] 渐近线方程为y=x即bxay=0,=,整理得=,故e= = =.
[答案]
6.已知双曲线C:-=1(a0,b0)的离心率e=2,且它的一个顶点到较近焦点的距离为1,则双曲线C的方程为________.
[解析] 依题意c-a=1,
又e==2,即c=2a,
由联立,得a=1,c=2.
b2=c2-a2=3,故双曲线C为x2-=1.
[答案] x2-=1
7.(2014泰州期末检测)已知双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P.若PF1F2=30,则该双曲线的离心率为________.
[解析] 因为以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P,故F1PF2=90,又PF1F2=30,F1F2=2c,PF1=c,PF2=c,由双曲线的定义知2a=PF1-PF2=(-1)c,e===+1.
[答案] +1
8.(2014盐城模拟)若圆x2+y2=r2过双曲线-=1的右焦点F,且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为点A,B,当四边形OAFB为菱形时,双曲线的离心率为________.
[解析] 由题意,得OA=OF=AF,=tan =,
e= =2.
[答案] 2
二、解答题
9.根据下列条件,求双曲线的标准方程.
(1)虚轴长为12,离心率为;
(2)焦距为26,且经过点M(0,12).
(3)经过两点P(-3,2)和Q(-6,-7).
(4)右焦点为(,0)且与双曲线-=1有相同的渐近线.
[解] (1)设双曲线的标准方程为
-=1或-=1(a0,b0).
由题意知:2b=12,e==.
b=6,c=10,a=8.
双曲线的标准方程为-=1或-=1.
(2)双曲线经过点M(0,12),M(0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在y轴上,且a=12.
又2c=26,c=13.b2=c2-a2=25.
双曲线的标准方程为-=1.
(3)设双曲线方程为mx2-ny2=1(mn0).
解得
双曲线的标准方程为-=1
(4)双曲线C与C:-=1有相同的渐近线,
设双曲线C的方程为-=(0).
则双曲线C:-=1,
又双曲线C的右焦点为(,0),
c=,则4+16=5,=.
故所求双曲线C的方程为x2-=1.
10.已知双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,一条渐近线的倾斜角为,点(-4,-6)在双曲线上,直线l的方程为x-my-4=0.
(1)求双曲线的方程;
(2)若l与双曲线的右支相交于A,B两点,试证:以AB为直径的圆M必与双曲线的右准线相交.
[解] (1)由题意,设双曲线的方程为3x2-y2=,
点(-4,-6)在双曲线上,=342-62=12,
故所求双曲线的方程为-=1.
(2)由l的方程为x-my-4=0,且l过双曲线的右焦点F(4,0),
设AB的中点为M.A,B,M在右准线上的射影分别为A1,B1,M1,
则==e=2,
所以=2,即=AA1+BB1,
所以圆M的半径R=2MM1=2d,所以d=R0,b0)与直线y=x无交点,则离心率e的取值范围是________.
[解析] 因为双曲线的渐近线为y=x,
要使直线y=x与双曲线无交点,则直线y=x应在两渐近线之间.
所以有,即ba,所以b23a2,
c2-a23a2,则c24a2,故10,b0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为____________.
[解析] 设PF1的中点为M,由|PF2|=|F1F2|得F2MPF1,由F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,知|F2M|=2a,在RtF1F2M中,|F1M|==2b,故|PF1|=4b.根据双曲线的定义,得4b-2c=2a即2b-a=c,(2b-a)2=c2=a2+b2,3b=4a,
双曲线的渐近线方程为y=x,即y=x即4x3y=0
[答案] 4x3y=0
2016年广西理科高考复习专题练习:双曲线已经呈现在各位同学面前,望各位同学能够努力奋斗,更多精彩尽在查字典数学网高考频道!
【2016年广西理科高考复习专题练习:双曲线】相关文章:
精美图文
精品推荐
- 【北京特级教师同步复习精讲辅导】2014~2015学年华师大版九年级数学下册课后练习:二次根式的概念和性质@_@课后练习二(含详
- 【北京特级教师同步复习精讲辅导】2014~2015学年华师大版九年级数学下册课后练习:一元二次方程的整数根@_@课后练习二(含详
- 【北京特级教师同步复习精讲辅导】2014~2015学年华师大版九年级数学下册课后练习:一元二次方程的应用@_@课后练习二(含详解
- 【北京特级教师同步复习精讲辅导】2014~2015学年华师大版九年级数学下册课后练习:一元二次方程的判别式@_@课后练习二(含详
- 【北京特级教师同步复习精讲辅导】2014~2015学年华师大版九年级数学下册课后练习:相似三角形的应用@_@课后练习二(含详解共
- 【北京特级教师同步复习精讲辅导】2014~2015学年华师大版九年级数学下册课后练习:相似三角形的应用@_@课后练习一(含详解共
- 【北京特级教师同步复习精讲辅导】2014~2015学年华师大版九年级数学下册课后练习:相似三角形有关的综合问题2@_@课后练习二
- 【北京特级教师同步复习精讲辅导】2014~2015学年华师大版九年级数学下册课后练习:一元二次方程的公共根@_@课后练习一(含详
- 61、2020同步人A数学必修第一册新教材章末综合测评(五) 三角函数 Word版含解析
- 58、2020同步人A数学必修第一册新教材章末综合测评(二) 一元二次函数、方程和不等式 Word版含解析
- 苏科版数学八年级下册9.2《中心对称和中心对称图形》
- 《点阵中的规律》小学数学五年级优质课观摩视频-第六届和美教育论坛
- 《列举-解决问题的策略》小学数学五年级名师优质课观摩视频-特级教师翟运胜
- 大鹏老师讲小升初数学
- 2019秋黄冈小状元六年级上语文数学英语作业达标卷口算速算部编版人教版小学同步黄岗试卷测试卷6年级上册语数英书同步训练七本套
- 北师大版数学七上-2.1《有理数》课堂教学视频实录-马胜利
- 二年级下册数学第一课
- 苏教版小学三年级数学上册一 两、三位数乘一位数14.复习
- 人教版七年级数学下册第五章5.1.3《同位角、内错角、同旁内角》_高清
- 《和的奇偶性》小学数学五年级优质课观摩视频-特级教师张冬梅-第十八届小学数学课堂教学观摩课