2016年浙江高考理科数学专题练习:抛物线
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【变式训练3】 (2014泰州中学检测)给定圆P:x2+y2=2x及抛物线S:y2=4x,过圆心P作直线l,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为A,B,C,D,如果线段AB,BC,CD的长按此顺序构成一个等差数列,求直线l的方程.
[解] 圆P的方程为(x-1)2+y2=1,则其直径长|BC|=2,圆心为P(1,0),设l的方程为ky=x-1,即x=ky+1,代入抛物线方程得:y2=4ky+4,设A(x1,y1),D(x2,y2),有
则(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=16(k2+1).
故|AD|2=(y1-y2)2+(x1-x2)2=(y1-y2)2+2
=(y1-y2)2=16(k2+1)2,
因此|AD|=4(k2+1).
根据等差数列性质得2|BC|=|AB|+|CD|=|AD|-|BC|,
|AD|=3|BC|=6,即4(k2+1)=6,k=,
即l方程为x-y-=0或x+y-=0.
2.(2014苏州调研)设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BCx轴.求证:直线AC经过原点O.
【常规证法】 抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,显然直线AB的斜率不为0,当AB斜率不存在时,直线AP方程为x=,不妨设A在第一象限,则易知A,B,C,此时kOA==2,kOC==2.kOA=kOC,
A,O,C三点共线,即直线AC经过原点O.
当AB斜率存在且不为0时,设直线AB方程为y=k代入y2=2px得k2x2-(k2+2)px+=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=,
=,
(y1y2)2=p4,由题意知y1y20,y1y2=-p2
kOC======kOA
直线AC过原点O,
综上,直线AC经过原点O.
【巧妙证法】 因为抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,而直线AB的斜率不为零,所以经过点F的直线AB的方程可设为x=my+.代入抛物线方程消去x得y2-2pmy-p2=0.
若记A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是该方程的两个根,所以y1y2=-p2.
因为BCx轴,且点C在准线x=-上,所以点C的坐标为,
故直线CO的斜率为k===,即k也是直线OA的斜率,所以直线AC经过原点O.
3.(2014南师附中检测)设A(x1,y1),B(x2,y2)为抛物线y2=2px(p0)上位于x轴两侧的两点.
(1)若y1y2=-2p,证明直线AB恒过一个定点;
(2)若p=2,AOB(O是坐标原点)为钝角,求直线AB在x轴上的截距的取值范围.
[解] (1)设直线AB在x轴上的截距为t,则可设直线AB的方程为x=my+t.代入y2=2px得y2=2p(my+t),即y2-2pmy-2pt=0,于是-2p=y1y2=-2pt,所以t=1,即直线AB恒过定点(1,0).
(2)因为AOB为钝角,所以0,即x1x2+y1y20.y=2px1,y=2px2,yy=2px12px2,于是x1x2===t2,故x1x2+y1y2=t2-2pt=t2-4t.解不等式t2-4t0,得00)
把点P(-2,-4)代入得(-4)2=-2p(-2).
解得p=4,抛物线方程为y2=-8x.
当焦点在y轴负半轴上时,设方程为x2=-2py(p0),
把点P(-2,-4)代入得(-2)2=-2p(-4).
解得p=.抛物线方程为x2=-y.
综上可知抛物线方程为y2=-8x或x2=-y.
[答案] y2=-8x或x2=-y
4.(2013广东高考)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c0)到直线l:x-y-2=0的距离为.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;
(3)当点P在直线l上移动时,求|AF||BF|的最小值.
[解题思路] (1)由点到直线的距离求c的值,得到F(0,c)后可得抛物线的方程;(2)采用设而不求策略,先设出A(x1,y1),B(x2,y2),结合导数求切线PA,PB的方程,代入点P的坐标,根据结构,可得直线AB的方程;(3)将|AF||BF|转化为关于x(或y)的函数,再求最值.
[解] (1)依题意,设抛物线C的方程为x2=4cy(c0),
由点到直线的距离公式,得=,
解得c=1(负值舍去),故抛物线C的方程为x2=4y.
(2)由x2=4y,得y=x2,其导数为y=x.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x=4y1,x=4y2,
切线PA,PB的斜率分别为x1,x2,
所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1),
即y=x-+y1,即x1x-2y-2y1=0.
同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0.
因为切线PA,PB均过点P(x0,y0),
所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0,
所以和为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.
所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.
(3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,
所以|AF||BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.
由消去x并整理得到关于y的方程为y2+(2y0-x)y+y=0.
由一元二次方程根与系数的关系得
y1+y2=x-2y0,y1y2=y.
所以|AF||BF|=y1y2+(y1+y2)+1
=y+x-2y0+1.
又点P(x0,y0)在直线l上,所以x0-y0-2=0,
即x0=y0+2,
所以y+x-2y0+1=2y+2y0+5=22+,
所以当y0=-时,|AF||BF|取得最小值,且最小值为.
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