初二数学:一个折叠问题的辅助线作法探究
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下面一道和直角三角形折叠有关的几何证明题,需要作辅助线构造相似三角形,才能顺利解决。但辅助线的作法比较灵活,通过探究此例辅助线的作法,能够训练思维的灵活性、深刻性,从而提高数学能力。下面从构造相似三角形的角度出发,探究四种辅助线的作法。
例 如图1,Rt△ABC中,AB=AC,点M在AC上,点N在BC上,沿MN翻折使点C恰好落在斜边AB上的点P.
(2) 当P不是AB中点时,是否仍然成立?若成立,请给出证明。
析解:(1)如图1, P为AB的中点,则PA=PB,要证,所以应证CM=CN.
连结CP,由PA=PB,CA=CB,得CPAB.
可知△CMN与△PMN完全重合, 得CM=PM,CN=PN.
MNCP.(MN是PC的垂直平分线)
MN∥AB.
如何证明关键是怎么作辅助线,将成比例线段的四条线段集中在一块,利用全等三角形和相似三角形的知识来研究。
辅助线一
由,考虑从线段AB 的内分点P作AC的平行线,构造出相似三角形,再从已知分析寻找证明思路。
证:如图(2),作PQ//AC,则PQBC,连结PC.
于是从思考△PQC∽△NCM是否成立。)
由已知可得PCMN,MCCN,
CMN=PCQ,Rt△PCQ∽Rt△NMC.
辅助线二
仍然考虑从P出发构造相似三角形和全等三角形。
证:作PQ=PN交BC于Q,如图4. PNQ=PQN,PNC与PMC互补,PMA与PMC互补,PMA=PQB,又B=45,
辅助线四
根据以上三种辅助线的作法,不难想到第四种作法。
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