高一数学练习:高一数学综合能力测试解答题六
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高一数学练习:高一数学综合能力测试解答题六
22.(本题满分14分)(09福建文)已知函数f(x)=sin(x+),其中0,|2.
(1)若cos4cos-sin34sin=0,求
(2)在(1)的条件下,若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于3,求函数f(x)的解析式;并求最小正实数m,使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数.
[解析] 解法一:(1)由cos4cos-sin34sin=0得cos4cos-sin4sin=0,
即cos=0.
又|2,
(2)由(1)得,f(x)=sinx+4.
依题意,T2=3.
又T=2,故=3,f(x)=sin3x+4.
函数f(x)的图象向左平移m个单位后,所得图象对应的函数为g(x)=sin3(x+m)+4,
g(x)是偶函数当且仅当3m++2(kZ),
即m=k12(kZ).
从而,最小正实数m=12.
解法二:(1)同解法一.
(2)由(1)得,f(x)=sinx+4.
依题意,T2=3.
又T=2,故=3,
f(x)=sin3x+4.
函数f(x)的图象向左平移m个单位后所得图象对应的函数为g(x)=sin3(x+m)+4.
g(x)是偶函数当且仅当g(-x)=g(x)对xR恒成立,
亦即sin-3x+3m+4=sin3x+3m+4对xR恒成立.
sin(-3x)cos3m+4+cos(-3x)sin3m+4
=sin3xcos3m+4+cos3xsin3m+4,
即2sin3xcos3m+4=0对xR恒成立.
cos3m+4=0,
故3m++2(kZ),
m=k12(kZ),
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