1.诱导公式

sin(-a)=-sin(a)

cos(-a)=cos(a)

sin(π2-a)=cos(a)

cos(π2-a)=sin(a)

sin(π2+a)=cos(a)

cos(π2+a)=-sin(a)

sin(π-a)=sin(a)

cos(π-a)=-cos(a)

sin(π+a)=-sin(a)

cos(π+a)=-cos(a)

2.两角和与差的三角函数

sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)

cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)

cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)

tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1-tan(a)tan(b)

tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1+tan(a)tan(b)

3.和差化积公式

sin(a)+sin(b)=2sin(a+b2)cos(a-b2)

sin(a)−sin(b)=2cos(a+b2)sin(a-b2)

cos(a)+cos(b)=2cos(a+b2)cos(a-b2)

cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b2)sin(a-b2)

4.二倍角公式

sin(2a)=2sin(a)cos(b)

cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a)

5.半角公式

sin2(a2)=1-cos(a)2

cos2(a2)=1+cos(a)2

tan(a2)=1-cos(a)sin(a)=sina1+cos(a)

6.万能公式

sin(a)=2tan(a2)1+tan2(a2)

cos(a)=1-tan2(a2)1+tan2(a2)

tan(a)=2tan(a2)1-tan2(a2)

7.其它公式(推导出来的 )

a⋅sin(a)+b⋅cos(a)=a2+b2sin(a+c) 其中 tan(c)=ba

a⋅sin(a)+b⋅cos(a)=a2+b2cos(a-c) 其中 tan(c)=ab

1+sin(a)=(sin(a2)+cos(a2))2

1-sin(a)=(sin(a2)-cos(a2))2

公式分类

公式表达式

乘法与因式分解

a2-b2=(a+b)(a-b)

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

三角不等式

|a+b|≤|a|+|b|

|a-b|≤|a|+|b|

|a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b|

-|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解

-b+√(b2-4ac)/2a

-b-b+√(b2-4ac)/2a

根与系数的关系

X1+X2=-b/a

X1*X2=c/a

注：韦达定理

判别式

b2-4a=0

注：方程有相等的两实根

b2-4ac>0

注：方程有一个实根

b2-4ac<0

注：方程有共轭复数根

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)

ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A)

ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2)

sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2)

cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))

tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))

ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)

2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)

-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2

cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB

tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些数列前n项和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2

1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)

12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4

1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径

余弦定理

b2=a2+c2-2accosB

注：角B是边a和边c的夹角

圆的标准方程

(x-a)2+(y-b)2=r2

注：(a,b)是圆心坐标

圆的一般方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0

注：D2+E2-4F>0

抛物线标准方程

y2=2px

y2=-2px

x2=2py

x2=-2py

直棱柱侧面积

S=c*h

斜棱柱侧面积

S=c'*h

正棱锥侧面积

S=1/2c*h'

正棱台侧面积

S=1/2(c+c')h'

圆台侧面积

S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l

球的表面积

S=4pi*r2

圆柱侧面积

S=c*h=2pi*h

圆锥侧面积

S=1/2*c*l=pi*r*l

弧长公式

l=a*r

a是圆心角的弧度数r >0

扇形面积公式

s=1/2*l*r

锥体体积公式

V=1/3*S*H

圆锥体体积公式

V=1/3*pi*r2h

斜棱柱体积

V=S'L

注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长

柱体体积公式

V=s*h

圆柱

一生受用的数学公式

坐标几何

一对垂直相交于平面的轴线，可以让平面上的任意一点用一组实数来表示。轴线的交点是 (0, 0)，称为

原点。水平与垂直方向的位置，分别用x与y代表。

一条直线可以用方程式y=mx+c来表示，m是直线的斜率(gradient)。这条直线与y轴相交于 (0,

c)，与x轴则相交于(–c/m, 0)。垂直线的方程式则是x=k，x为定值。

通过(x0, y0)这一点，且斜率为n的直线是

y–y0=n(x–x0)

一条直线若垂直于斜率为n的直线，则其斜率为–1/n。通过(x1, y1)与(x2, y2)两点的直线是

y=(y2–y1/x2–x1)(x–x2)+y2 x1≠x2

若两直线的斜率分别为m与n，则它们的夹角θ满足于

tanθ=m–n/1+mn

半径为r、圆心在(a, b)的圆，以(x–a) 2+(y–b) 2=r2表示。

三维空间里的坐标与二维空间类似，只是多加一个z轴而已，例如半径为r、中心位置在(a, b, c)的球，

以(x–a) 2+(y–b) 2+(z–c) 2=r2表示。

三维空间平面的一般式为ax+by+cz=d。

三角学

边长为a、b、c的直角三角形，其中一个夹角为θ。它的六个三角函数分别为：正弦(sine)、余弦

(cosine)、正切(tangent)、余割(cosecant)、正割(secant)和余切(cotangent)。

sinθ=b/ccosθ=a/ctanθ=b/a

cscθ=c/bsecθ=c/acotθ=a/b

若圆的半径是1，则其正弦与余弦分别为直角三角形的高与底。

a=cosθb=sinθ

依照勾股定理,我们知道a2+b2=c2。因此对于圆上的任何角度θ，我们都可得出下列的全等式：

cos2θ+sin2θ=1

三角恒等式

根据前几页所述的定义，可得到下列恒等式(identity)：

tanθ=sinθ/cosθ，cotθ=cosθ/sinθ

secθ=1/cosθ，cscθ=1/sinθ

分别用cos 2θ与sin 2θ来除cos 2θ+sin 2θ=1，可得：

sec 2θ–tan 2θ=1及csc 2θ–cot 2θ=1

对于负角度，六个三角函数分别为：

sin(–θ)= –sinθ csc(–θ)= –cscθ

cos(–θ)= cosθsec(–θ)= secθ

tan(–θ)= –tanθ cot(–θ)= –cotθ

当两角度相加时，运用和角公式：

sin(α+β)= sinαcosβ+cosαsinβ

cos(α+β)= cosαcosβ–sinαsinβ

tan(α+β)= tanα+tanβ/1–tanαtanβ

若遇到两倍角或三倍角，运用倍角公式：

sin2α= 2sinαcosα sin3α= 3sinαcos2α–sin3α

cos2α= cos 2α–sin 2αcos3α= cos 3α–3sin 2αcosα

tan 2α= 2tanα/1–tan 2α

tan3α= 3tanα–tan 3α/1–3tan 2α

二维图形

下面是一些二维图形的周长与面积公式。

圆：

半径= r直径d=2r

圆周长= 2πr =πd

面积=πr2 (π=3.1415926…….)

椭圆：

面积=πab

a与b分别代表短轴与长轴的一半。

矩形：

面积= ab

周长= 2a+2b

平行四边形(parallelogram)：

面积= bh = ab sinα

周长= 2a+2b

梯形：

面积= 1/2h (a+b)

周长= a+b+h (secα+secβ)

正n边形：

面积= 1/2nb2 cot (180°/n)

周长= nb

四边形(i)：

面积= 1/2ab sinα

四边形(ii)：

面积= 1/2 (h1+h2) b+ah1+ch2

三维图形

以下是三维立体的体积与表面积(包含底部)公式。

球体：

体积= 4/3πr3

表面积= 4πr2

方体：

体积= abc

表面积= 2(ab+ac+bc)

圆柱体：

体积= πr2h

表面积= 2πrh+2πr2

圆锥体：

体积= 1/3πr2h

表面积=πr√r2+h2 +πr2

三角锥体：

若底面积为A，

体积= 1/3Ah

平截头体(frustum)：

体积= 1/3πh (a2+ab+b2)

表面积=π(a+b)c+πa2+πb2

椭球：

体积= 4/3πabc

环面(torus)：

体积= 1/4π2 (a+b) (b–a) 2

表面积=π2 (b2–a2)

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