数学辅导:名师教你如何正确运用垂径定理
例1.如图,弓形弦AB=6,弓形高为1,则其所在圆的半径为_____。
[解析]:作弦AB的垂直平分线,分别交-、弦AB于C、D两点。则CD为弓形的高,由垂径定理的推论知圆心O一定在直线CD上,设圆心O在如图所示的位置,半径为r,连结BD,在Rt△BDO中,BD=3,BO=r,OD=r-1,由勾股定理得32+(r-1)2=r2,解得r=5。答案:5
例2.已知⊙O的半径为2cm,弦AB长为2-cm,则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为_____。
[解析]:如图,取弧AB的中点C,弦AB的中点D,连结CD并延长,由垂径定理的推论知圆心O一定在直线CD上,且OC⊥AB。在Rt△ADO中,AD=-,AO=2,由勾股定理可求得OD=1,∴弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离CD=2-1=1。
例3.如图,⊙O的直径为10,弦AB为8,P是弦AB上一动点,若OP的长为整数,则满足条件的点P有____个。
[解析]:过O点作OC⊥AB于C,由垂径定理可得AC=BC=4,在Rt△ACO中,由勾股定理可求得OC=3,由P点在线段AB上的位置可知当P点运动到C点时,OP最短且长为整数3,当P点运动到A、B两点时,OP最长且长为整数5,由于数轴上的点与实数具有一一对应的关系,可知A点和C点之间必存在一点P,使OP的长为4,同理B点和C点之间也存在一点P,使OP的长为4。
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