趣味数学故事之克莱因瓶
趣味数学故事之克莱因瓶
在1882年,著名数学家菲立克斯·克 莱因(Felix Klein)发现了后来以他的名字命 名的著名"瓶子"。这是一个象球面那样 封闭的(也就是说没有边)曲面,但是它 却只有一个面。在图片上我们看到,克莱 因瓶的确就象是一个瓶子。但是它没有瓶 底,它的瓶颈被拉长,然后似乎是穿过了 瓶壁,最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。如 果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈相 连的话,我们就会得到一个轮胎面。
我们可以说一个球有两个面--外面和内面,如果一只蚂蚁在一个球的外表面上爬行,那么如果它不在球面上咬一个洞,就无法爬到内表面上去。轮胎面也是一样,有内外表面之分。但是克莱因瓶却不同,我们很容易想象,一只爬在"瓶外"的蚂蚁,可以轻松地通过瓶颈而爬到"瓶内"去--事实上克莱因瓶并无内外之分!在数学上,我们称克莱因瓶是一个不可定向的二维紧致流型,而球面或轮胎面是可定向的二维紧致流型。
如果我们观察克莱因瓶的图片,有一点似乎令人困惑--克莱因瓶的瓶颈和瓶身是相交的,换句话说,瓶颈上的某些点和瓶壁上的某些点占据了三维空间中的同一个位置。但是事实却非如此。事实是:克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面,如果我们一定要把它表现在我们生活的三维空间中,我们只好将就点,只好把它表现得似乎是自己和自己相交一样。事实上,克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的,并不穿过瓶壁。这是怎么回事呢?
我们用扭节来打比方。看底下这个图形,如果我们把它看作平面 上的曲线的话,那么它似乎自身相交,再一看似乎又断成了三截。但其实很容易明白,这个图形其实是三维空间中的曲线,它并不和自己相交,而且是连续不断的一条曲线。在平面上一条曲线自然做不到这样,但是如果有第三维的话,它就可以穿过第三维来避开和自己相交。只是因为我们要把它画在二维平面上时,只好将就一点,把它画成相交或者断裂了的样子。克莱因瓶也一样,这是一个事实上处于四维空间中的曲面。在我们这个三维空间中,即使是最高明的能工巧匠,也不得不把它做成自身相交的模样;就好象最高明的画家,在纸上画扭结的时候也不得不把它们画成自身相交的模样。题图就是一个用玻璃
吹制的克莱因瓶。
大家大概都知道莫比乌斯带。你可以把一条纸带的一段扭180度,再和另一端粘起来来得到一条莫比乌斯带的模型。这也是一个只有一 莫比乌斯带个面的曲面,但是和球面、轮胎面和克莱因瓶不同的是,它有边(注意,它只有一条边)。如果我们把两条莫比乌斯带沿着它们唯一的边粘合起来,你就得到了一个克莱因瓶(当然不要忘了,我们必须在四维空间中才能真正有可能完成这个粘合,否则的话就不得不把纸撕破一点)。同样地,如果把一个克莱因瓶适当地剪开来,我们就能得到两条莫比乌斯带 除了我们上面看到的克莱因瓶的模样,还有一种不太为人所知的"8字形"克莱因瓶。它看起来和上面的曲面完全不同,但是在四维空间中它们其实就是同一个曲面--克莱因瓶。
【趣味数学故事之克莱因瓶】相关文章:
★ 古老的趣味数学题
★ 小学数学趣味故事
★ 趣味数学与众不同
- 上一篇:趣味数学故事之十万美元的悬赏
- 下一篇:趣味数学故事之一加一到底等于几?
相关数学趣味数学推荐
- [趣味数学]|小学趣味数学题库
- [趣味数学]|小学二年级趣味智力题及答案
- [趣味数学]|小学生趣味数学题及答案
- [趣味数学]|小学生找规律填数数字数学智力题
- [趣味数学]|小学二年级经典数学智力题
- [趣味数学]|出生日期
- [趣味数学]|趣味数学故事 0和1的争斗
- [趣味数学]|经典趣味数学故事之猴王给小猴子分桃
- [趣味数学]|两位数乘两位数巧算技巧
- [趣味数学]|趣味数学智力题:连线谜题
精美图文
网友关注
- []|2012北师大版八上3.5《它们是怎样变过来的》p...
- []|北师大版数学八上《生活中的旋转》ppt课件之一
- []|2012北师大版八上6.1《函数》ppt课件
- []|2012北师大版八上3.6《简单的图案设计》ppt...
- []|北师大版数学八上《矩形、正方形》ppt课件之一
- []|2012北师大版八上3.5《它们是怎样变过来的》f...
- []|2012北师大版八上2.1《数怎么又不够用了》pp...
- []|2012北师大版八上3.4《简单的旋转作图》ppt...
- []|2012北师大版八上1.1《探索勾股定理》(第3课...
- []|2012北师大版八上2.5《用计算器开方》ppt课...
- []|2012北师大版八上2.6《实数》ppt课件1
- []|2012北师大版八上3.2《简单的平移作图》ppt...
- []|2012北师大版八上5.2《平面直角坐标系》ppt...
- []|2012北师大版八上2.4《公园有多宽》ppt课件...
- []|2012北师大版八上5.3《变化的鱼》ppt课件2...
- []|北师大版数学八上《用计算器开方》ppt课件
- []|北师大版数学八上《鸡兔同笼》ppt课件之一
- []|2012北师大版八上3.1《生活中的平移》ppt课...
- []|2012北师大版八上6.3《一次函数的图象》ppt...
- []|2012北师大版八上1.3《蚂蚁怎样走最近》ppt...
精品推荐
- 【北京特级教师同步复习精讲辅导】2014~2015学年华师大版九年级数学下册课后练习:二次根式的概念和性质@_@课后练习二(含详
- 【北京特级教师同步复习精讲辅导】2014~2015学年华师大版九年级数学下册课后练习:一元二次方程的整数根@_@课后练习二(含详
- 【北京特级教师同步复习精讲辅导】2014~2015学年华师大版九年级数学下册课后练习:一元二次方程的应用@_@课后练习二(含详解
- 【北京特级教师同步复习精讲辅导】2014~2015学年华师大版九年级数学下册课后练习:一元二次方程的判别式@_@课后练习二(含详
- 【北京特级教师同步复习精讲辅导】2014~2015学年华师大版九年级数学下册课后练习:相似三角形的应用@_@课后练习二(含详解共
- 【北京特级教师同步复习精讲辅导】2014~2015学年华师大版九年级数学下册课后练习:相似三角形的应用@_@课后练习一(含详解共
- 【北京特级教师同步复习精讲辅导】2014~2015学年华师大版九年级数学下册课后练习:相似三角形有关的综合问题2@_@课后练习二
- 【北京特级教师同步复习精讲辅导】2014~2015学年华师大版九年级数学下册课后练习:一元二次方程的公共根@_@课后练习一(含详
- 61、2020同步人A数学必修第一册新教材章末综合测评(五) 三角函数 Word版含解析
- 58、2020同步人A数学必修第一册新教材章末综合测评(二) 一元二次函数、方程和不等式 Word版含解析