哈洛德•贺欧夫各特：彻底证明弱哥德巴赫猜想(二)_趣味数学

哈洛德•贺欧夫各特：彻底证明弱哥德巴赫猜想(二)

谈谈张益唐

问：这几个月对于解析数论来说挺忙碌的，我们有您对弱哥德巴赫猜想的证明，还有张益唐对素数间距方面的突破。您对此有何评价?

答：我还没有仔细看张益唐的证明，不过我觉得他的证明令人印象深刻。大家说我和张益唐的证明是同一天发出来的，但实际上我发表我的证明的前一天就听说了张益唐的证明。但这只是个巧合，我并没有刻意去赶上时间，而我和他的工作其实关系也不太大。当时，我写好了论文之后，就跟我父母谈过，看看是明天或者下个星期在arXiv上贴出我的证明。然后我在Facebook上就看到了他在哈佛做讲座的消息，宣布了他证明了对于某个有限间距，存在无穷对小于这个间距的素数对。

一开始大家都不太相信，事实上我的Facebook好友们似乎也持怀疑态度。但很显然他并没有将他的工作发在网上，因为他之前没有发表多少论文，他可能怕大家不相信他的证明，不会去认真对待他的工作。于是他直接将论文投稿到了一个期刊，然后请这个期刊尽快审阅他的稿件，然后过了一个月，审阅就完成了，对于一个数学期刊来说这是相当的高速度，也是相当的罕见。对于一般的论文，比如说我的，就大概要花一年的样子。

反正是过了一个月，张益唐的论文被几位数论方面的专家匿名审阅过，没有挑出很大的问题，于是他才将论文放到网上。大家读了论文之后，都意识到他的确解决了素数有限间距的问题。他的证明是对的。这整个过程很震动人心。

在他的证明以及我的证明中，我觉得很重要的一部分就是对方法的改进。在张益唐的证明中，他改进了邦别里-维诺格拉多夫定理的一种特殊情况。其实之前也有人对这个定理做过各种各样的改进，但这些改进都不太适合素数有限间距的问题。而张益唐做的就是找到了适合的那种推广。我觉得他的推广也许可以用到别的数论问题上。

张益唐的证明里给出了一个常数。对张益唐本人来说，常数本身是多少并不重要，重要的是这是个有限的常数，而现在人们在尝试降低这个常数。我个人希望相关的论证能够弄得简洁一些，因为如果论证太复杂的话，这种努力就不太吸引人了。

问：张益唐没有正式的研究职位却取得了重要的成果，在数学界中这很普遍吗?

答：其实这不太普遍。一般说的"纯粹的研究职位"也不是只搞研究，也有一些行政方面的工作，也带一些学生，不过还是研究居多。而更普遍的是研究和教学兼有的职位，在法国这很普遍，我相信在中国和其它国家这也是主流。

张益唐特别的地方在于，他是大学里的讲师，这不是一个永久职位，而大家也不会期望一位讲师去做研究。所以一位大学讲师证明了这么一个重要的定理，这很不寻常，一般的讲师大概连论文都不太发。讲师的授课压力还是比较大的，所以可以搞研究的时间可能就少一些，当然这跟大学本身的政策也有关系。

当然，即使张益唐没有正式的研究职位，但他是受过专业的数学训练的，所以才能解决素数间距的问题。

问：您知道，张益唐和陈景润在不太好的境遇中做出了非常好的成果。有些人觉得他们也能想这两位数学家那样解决世界难题，即使他们没接受过数学训练。您对这些人是怎么看的?

答：我知道，总有一些人，他们没有数学背景，不知道何谓数学证明，却整天幻想解决重大的数学猜想。这是一件悲哀的事情，但总有这样的人。我偶尔也会收到这些人给我发的邮件。我真的觉得这是件很悲哀的事，他们应该找点别的事情去做。

要想做数学，需要多年的训练，还要与别的数学家交流。当然，对于做数学的人来说，总会碰到艰难的时期。这时，陈景润和张益唐的遭遇就会提示我们，只要有坚实的数学训练，再加上坚强的意志和艰苦的工作，常常可以度过困境。但正式的数学训练是必须的。

举个例子，印度的天才，拉马努金，他没有接受完整的大学教育，因为他在大学里只想上数学课所以被开除。但他的确接受了坚实的数学训练，虽然质量可能没那么好。他也去图书馆看书，做了很多数学工作，也跟同学讨论，也有老师支持他去学数学。所以，数学训练是必须的，任何想做数学的人都不能绕过这一步。

问：您平时是怎么工作的呢?

答：你看，我会看书(指着桌面上的一大堆书)。在法国这里，我将绝大部分工作时间花在了搞数学研究上，不过我也会跟数学家朋友们聊聊天，也会去带博士，也会去教课。我觉得对于数学家来说教课是很重要的。我挺喜欢教课，偶尔去一下那种，有很多人教课比我好得多。我喜欢去讲一些大家都比较熟悉的东西，但是用一些新的理解和思路去讲。我不太喜欢那种每个学年的例行讲课。

我在法国的这个职位有一点好处，就是比较自由。除了研究以外，我可以去教课，可以到全球各地与别人合作。我觉得这是一件好事，我相信数学的未来在于全球合作。在欧美的数学家也应该多去欧美以外的地方，像是南美和亚洲，去传播数学。

问：您曾经到印度和秘鲁授课，这就是您的动机吗?

答：正是如此。我觉得这是个很好的经验，那里有不少有才能的学生。我很快就要在秘鲁主持一期暑期学校了。对我来说，这是个很重要的事业。我在秘鲁授课的一个原因当然是我出生在秘鲁，但我觉得每个人都应该走出去传播数学，在世界的每个角落。每个人都可以由此得益，不失为很好的体验。

问：既然您在法国、美国工作过，又曾经到印度、秘鲁授课，能给我们讲讲这些国家之中数学研究与教学的差异?

答：比如说秘鲁，如同其它南美国家，数学研究在大概二十世纪起步，但由于国家本身经历的种种磨难，现在在秘鲁做数学并非易事。图书馆不够好，在城市生活也不轻松，薪水也不够高，能做研究的大学也很少。对于秘鲁的学生，他们通常会互帮互助，也有些机构会帮助这些学生，但能让他们接受到足够训练，成为研究人员的体制却仍不完全。秘鲁的学生可以到别的国家求学，比如说美国或者法国，然后成为研究人员。但秘鲁本身的体制也正在不断完善之中。

再看美国，对于研究人员来说最大的不同就是有了更多的自由，可以与更多的人合作。在法国有更多与拉丁美洲的合作项目，可能是因为语言更为相近的缘故。

问：对于希望学数学的中国学生，您有什么建议?

答：啊，这是个好问题。我就从数论方面讲。如果希望学数论的话，需要掌握很多领域的知识，而不仅仅是数论。全面的数学教育是很重要的。另外，数学不仅仅是理论的构建，还包括对实际数学问题的解决，应该注意到这一点。

我最喜欢的一本数学书是维诺格拉多夫的一本小书，书名是《数论基础》(Elements of number theory)。我是在13岁生日时收到这份礼物的。这本书不难，而且有很多很好的习题。当然，我现在的证明改进了维诺格拉多夫的结果，这纯属巧合。我小时候，秘鲁的书不便宜，但有个出版社专门出版一些不太贵的西班牙语数学书，这些数学书都不错，至少我买得起，从中也获益良多。

我认为兴趣对于做数学是很重要的。数学研究不仅仅是一种职业(job)，更是一种使命(vocation)。当然会有困难的时候，但最重要的，还是将它视为自己的使命。毕竟人生苦短，虽然在工作外还有生活，但工作还是占据了很大一部分的时间，这些时间还是花在自己感兴趣的事情上为好。我们应该做有用的事，但同时最好也做最适合自己的东西。

问：有很多不做数学的人，觉得数学很困难而且很无聊，您怎么看?

答：我觉得这是因为他们没有接受到好的数学教育。

现在有一种很不好的现象。一个人可以堂而皇之说自己不懂数学，没人会指责他;但对文学的态度却截然不同，自称没读过莎士比亚或者论语的人往往会遭人白眼。

不过也有例外。有一次我和一位朋友在法国南部开会，因为错过了公交车，于是在路边干等着。有位好心的司机看见我们，载了我们一程。在车上闲聊时，他告诉我们他很喜欢数学，认为数学和戏剧同等有趣。当然这种人很少，不过还是有的。

当然，数学、戏剧，还有别的很多东西都很有趣，但会将它们相提并论的人并不多，而这些人之前大多从事过技术性工作。在一般的群体中，更常见的态度是自称会读小说而完全不懂数学，而且不以为耻反以为荣。我觉得这大错特错，人们不应该将自己的无知作为骄傲的资本。

问：对于数学科普，您怎么看?

答：我认为数学普及很好，数学研究可以由此传达大众，但我们也应该指导对数学感兴趣的年轻人去接受更严肃的数学教育，以成为数学家或者科学家。数学研究者一般在很年轻的时候就开始做数学，比如说高中毕业之后或者在大学里。我认为面向大众的数学普及是很好的，但面向这些年轻人的，比较高层次的数学普及也是很重要的。

当然，这两个层次之间还有一层，就是面对科学家和工程师的。数学是他们重要的工具，但不是他们研究的领域。他们明白更多的概念，所以说明可以更深入。

问：您认为职业数学家在数学科普中可以起到什么样的作用?

答：在我刚才说到的三种数学普及中，职业数学家更适合做中高层次的数学普及。已经有不少人在做面向大众的普及，而且都做得不错。但中高层次做的人很少。我自己也在做一些这方面的东西，比如之前说的去世界各地讲课。我还有个数学博客，但几乎没什么内容，因为我最近忙着做论文。不过，过些时间我会写一篇有关弱哥德巴赫猜想的博文，大概工程师的水平就能看懂，敬请期待。

以下进入专业一些的内容，不过，也推荐大家一读。用哈洛德的话说是“虽然有点难，但是我觉得还是挺有趣的。”

问：您的证明是基于圆法的改进，您的方法能用到别的解析数论问题上吗?

答：为了降低常数，我对现有的技巧进行了很多改良。虽然很多改良都是针对弱哥德巴赫猜想这个特殊问题的，但也有一些可以应用到更广泛的解析数论的问题上。其实我认为有几个技巧甚至可以在解析数论以外的纯数学领域，甚至应用数学中找到应用。

在证明当中，我需要找到某种“平滑化”的手段，这涉及到某些积分。你要算一个无限求和的上下界，你不想搞突然截断，舍弃某一项之后的所有东西，你更希望这些项会慢慢变小，“软着陆”，这种技巧叫平滑化。

关于这一点，有个很有趣的故事。在哈代他们的证明里用到了无限求和的平滑化，但维诺格拉多夫的证明就搞的突然截断，而自此之后的大部分相关工作都没有用过平滑化，不过Ramaré和陶哲轩的工作就重新用了平滑化。

在解析数论中这种技术上的“倒退”，就好像当年罗马帝国崩溃之后，人们就忘记怎么造水泥了。就像这样，上一代的数学家好像忘却了平滑化，五十年代人们还在用，六十年代就没人用了。当然，这也要看情况。不过一般来说，还是平滑化的好。

但问题是，用哪种平滑化呢?Ramaré和陶哲轩用到了指数衰减的平滑化。虽然指数衰减用起来很便利，但是还不够平滑和缓。他们的平滑化其实还不错，但我觉得还不够好，所以我就开始自己开发新的技术。我用高斯函数代替了指数衰减，因为高斯函数更加光滑，下降得也更加快。

下面我讲一下技术细节，虽然有点难，但是我觉得还是挺有趣的。

指数衰减其实真的很好搞，因为实际上它与各种变换有很大的关系，比如说傅立叶变换和梅林变换，而我们对这些变换研究得很深入。但对于高斯函数，人们知道其中一些结论，也知道它跟三角函数有些联系。你可能觉得大家已经对这个高斯函数比较熟悉，但事实不是这样，在解析数论里，很少有人用到高斯函数的平滑化，所以有关的常数之类的东西还没人算出来过。反而在应用数学里，因为经常用到高斯函数，反而搞应用数学的人知道得更多。

在解析数论中，我们常常用到所谓的梅林变换，我觉得用到梅林变换的人之中有一半都是搞解析数论的。但梅林变换其实就是拉普拉斯变换的另一种写法。如果我们考虑高斯函数与三角函数乘积的梅林变换，我们会得到所谓的“抛物圆柱函数”。其实一年前我还不知道这个函数叫啥，但貌似物理学家和工程师是这么叫的。他们用这个函数用得不少，但对它的了解却不太透彻。我们知道一些渐近估计，但没有明确的常数，也没有明确的误差项。

所以我必须自己来搞清楚这些东西，我花了一个半月的时间。因为我平时不搞这个领域，当然比专精的人要慢些。我把这方面的结果都写进论文里了，我觉得这些结果对于工程师和物理学家来说可能会有用，他们可能还会推进这些结果。结果还得走着瞧，不过我觉得这是个很好的例子，说明数论工作也可能有实际应用，因为在数论研究中，我们需要改进各种工具，而这些工具不一定是数论专用的，可能在别的数学领域中也会用到。

问：您与合作者在证明中用到了计算机，具体是怎么用的呢?

答：我和我的合作者David Platt写了篇小文章，讲的就是用“素数天梯”的方法来验证弱哥德巴赫猜想到大概10的30次方。这个计算并不是很难，我们在地下室机房利用空闲时间算了几个星期。其实随便哪位爱好者有心的话，自己在家算几个月也能大概验证到10的29次方。这段计算其实小菜一碟。因为我希望留点余地，以免论文中有什么计算出错，所以验证到了比较高的10的30次方。

真正复杂的计算在另一篇Platt自己写的论文里，我对此的贡献就是说服他去做这个计算。其实在法国有很多公共资源，只要你能找到合适的人，跟他吃个午饭，这个计算就是这样子来的。在这个论文里，Platt延续了他博士论文中的工作。

还记得广义黎曼猜想吗?广义黎曼猜想涉及一类叫L函数的复变函数，它们在复平面上有无穷个非平凡零点。要对这些无穷的东西搞验证似乎是不可能的。但你可以考虑一个有限的问题，比如说先取十亿个L函数，然后对于每个函数，验证虚部绝对值小于十万的所有非平凡零点的实部都是1/2。这是一个可以完成的验证。类似的计算在十九世纪就有人做过，实际上黎曼在提出他的猜想时，就对黎曼ζ函数这个特殊的L函数验证过小于100左右的所有非平凡零点。所以，从原则上，我们考虑的有限的验证可以用手算解决，不过一般还是靠计算机。

Platt做的就是用计算机完成这样的计算，而且是以严格的方式。对于数学验证而言，严谨性很重要。我们知道，计算机只能表达有理数，它不能直接处理像圆周率这样的无理数。所以，实际上计算机不能处理实数，它只能处理一个区间[a,b]，其中a和b都是有理数。而你只能问你的计算机，能不能给出一个尽量短的区间[c,d]，使得区间[a,b]中的实数的正弦值(或者别的什么函数值)都落在区间[c,d]中。这就是所谓的区间算术。

有很多库可以处理区间算术，Platt他自己写了一个特别快的，不过网上也有不少类似的库。我们需要用这些库，即使这意味着计算速度比直接用浮点数要慢上几倍，但计算的过程和结果是完全严谨的。

问：您在证明中用到了计算机，那您对计算机在未来的数学证明中发挥的作用有什么看法呢?

答：这个问题挺有争议性的。在我们的证明里，计算机做的就是验证一些有限的陈述，其实跟十九世纪那种手工验证也没什么区别，而且计算机出错的可能性比人要小多了。你知道，把一串数字加起来可是计算机的强项。基本上在计算机验证里发现的错误，罪魁祸首都是敲键盘的那个人。

但计算机还能做别的东西。现在，计算机能够独自证明一些简单的小引理。最近有一篇论文，其中一个引理的证明就是计算机给出的。那是一个很小的不等式，就像那些在高中数学竞赛中出现的不等式。但这类不等式并不容易证明，所以它们才能出现在高中数学竞赛中。但现在，有时候你可以将这种不等式直接输入计算机，然后计算机有可能直接给你一个证明，或者告诉你这个是对的。这种计算机证明被接受了。

这是一种新事物，因为计算机能处理这种问题也就是最近的事。对付这种东西的算法还很原始，在实际操作过程中，为了能算出结果而又不死机，需要微调一大堆变量，在写代码时也要多花心思。这类小引理的证明算是种偶尔会出现的新奇事物。这也是个很有希望的方向，需要发展一下这方面的算法。

不过要分清计算机证明与数值实验。数值实验就是比如说我把某个东西验证到了一百万，然后我说它大概是对的，但这不是一个证明，而只是一种经验式的证据，告诉我们大概什么方向是对的。而计算机证明，我们用到的就是对有限陈述的验证，原则上用笔和纸也能完成的那种。这种有限的验证是不可避免的，因为在数学分析中，如果变量小于某个数值，主项和误差项相差不够远，这种情况就要一一验证。要分清证明和证据，证据只能指引方向，而证明就真的是无误的逻辑证明。

问：您的证明里用到了圆法，而张益唐的证明用到了筛法。您能介绍一下这两种方法的异同吗?

答：筛法和圆法其实是很不同的，不过也有相似的地方。有一种叫“大筛法”的，就跟圆法有关。但这与张益唐主要用的“小筛法”很不同，当然他也稍微用到了一些大筛法。圆法的本质就是应用在数论中的傅立叶分析，简单来说就是对圆周上的函数进行分析。而筛法的目的则是给出素数分布的一种近似估计。

在我的论文中就用到了大筛法和圆法的关系。在大筛法中的一些技巧可以直接用到圆法中，反之亦然。两者其实是同一枚硬币的正反两面。张益唐的证明也用到了大筛法，因为他需要类似邦别里-维诺格拉多夫定理的结果，而那个定理是用大筛法的。其实大约在八年前，大家就知道只要把邦别里-维诺格拉多夫定理的某个特殊情况推广一下，就可以得到张益唐的结论，而张益唐做的就是这一点。八年来很多聪明人都铩羽而归，大家都觉得这是个很难的问题，但张益唐成功了。我还没细读他的论文，但我感觉他虽然在这个意义上用到了大筛法，但他的改进并不在大筛法上，而是有关其它技巧的改进。

但他和我的证明也有相似之处。我们的论证都是基于维诺格拉多夫建立的所谓I类和II类和。在我的和他的论文里都用到了这些概念。

问：在解析数论中，除了筛法和圆法，还有别的主流方法吗?

答：比如说广义黎曼猜想，我们可以证明一些有限的特殊情况，然后利用这些特殊情况去证明别的东西。这大概有两种做法。

一是直接去证明一些更弱的结论，其中一个例子就是所谓的“无零点区域”。我们还不知道怎么证明所有非平凡零点的实部都是1/2，但我们可以证明零点必定在某个包含所谓“临界线”(实际上就是实部为1/2的复数组成的直线)的区域内，而这个区域在实轴附近很小。这种限制能告诉我们一些重要的信息，而人们一直在使用类似的结论来证明别的问题。

二是直接去验证零点。我们可以说，对于虚部大于一定数值的零点，我们一无所知;但对于虚部不太大的零点，我们可以直接用计算机去验证。这样的好处是，对于这些虚部不太大的零点，我们能完全确定它们的位置，而并非只知道它们在某个区域内。但我们只能对有限个L函数验证这些结论，而“无零点区域”类的结论可以应用到所有L函数上。不过，这种有限的验证也更容易做到。

其实还有很多很多的小技巧，不过它们还没有到达“方法”这一层面。

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