将军饮马
古希腊一位将军要从A地出发到河边(如下图MN)去饮马,然后再回到驻地B。问怎样选择饮马地点,才能使路程最短?
图35
分析与解 这是著名的“将军饮马问题”。在河边饮马的地点有许多处,把这些地点与A、B连接起来的两条线段的长度之和,就是从A地到饮马地点,再回到B地的路程之和。现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的那个点来。
图36
在图上过B点作河边MN的垂线,垂足为C,延长BC到B′,B′是B地对于河边MN的对称点;连结AB′,交河边MN于D,那么D点就是题目所求的饮马地点。
为什么饮马的地点选择在D点能使路程最短呢?因为 BD=B′D,AD与 BD的长度之和就是AD与DB′的长度之和,即是AB′的长度;而选择河边的任何其他点,如E,路程AE+EB=AE+EB′,由于A和B′两点的连线中,线段 AB′是最短的,所以选择 D点时路程要短于选择E点时的路程。
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