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当前位置： 查字典数学网 > 学习园地 > 考前复习 > 中考数学复习指导 一元二次方程的基本解法

一元二次方程是中学代数的重要内容之一，是进一步学习其他方程、不等式、函数等的基础，其内容非常丰富，本讲主要介绍一元二次方程的基本解法．方程ax2+bx+c=0(a0)称为一元二次方程．

一元二次方程的基本解法有开平方法、配方法、公式法和国式分解法．

对于方程ax2+bx+c=0(a0)，△=b2-4ac称为该方程的根的判别式．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即

中考数学复习指导 一元二次方程的基本解法1

当△=0时，方程有两个相等的实数根，即中考数学复习指导 一元二次方程的基本解法2

当△＜0时，方程无实数根．

中考数学复习指导 一元二次方程的基本解法3

分析可以使用公式法直接求解，下面介绍的是采用因式分解法求解．

中考数学复习指导 一元二次方程的基本解法4中考数学复习指导 一元二次方程的基本解法5　

因为

中考数学复习指导 一元二次方程的基本解法6

所以

中考数学复习指导 一元二次方程的基本解法7

中考数学复习指导 一元二次方程的基本解法8　

例2已知方程(2000x)2-20011999x-1=0的较大根为a，方程x2+1998x-1999=0的较小根为，求-的值．

解由方程(2000x)2-20011999x-1=0得(20002x+1)(x-1)=0，

中考数学复习指导 一元二次方程的基本解法9(x+1999)(x-1)=0，

故x1=-1999，x2=1，所以=-1999．所以-=1-(-1999)=2000

例3解方程：(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)．

分析本题容易犯的错误是约去方程两边的(x-1)，将方程变为3x-1=4x+1，

所以x=-2，这样就丢掉了x=1这个根．故特别要注意：用含有未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程失根．本题正确的解法如下．

解(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0，

(x-1)[(3x-1)-(4x+1)]=0，

(x-1)(x+2)=0，

所以x1=1，x2=-2．

例4解方程：x2-3｜x｜-4=0．

分析本题含有绝对值符号，因此求解方程时，要考虑到绝对值的意义．

解法1显然x0．当x＞0时，x2-3x-4=0，所以x1=4，x2=-1(舍去)．当x＜0时，x2+3x-4=0，所以x3=-4，x4=1(舍去)．

所以原方程的根为x1=4，x2=-4．

解法2由于x2=｜x｜2，所以

｜x｜2-3｜x｜-4=0，

所以(｜x｜-4)(｜x｜+1)=0，

所以｜x｜=4，｜x｜=-1(舍去)．

所以x1=4，x2=-4．

例5已知二次方程

3x2-(2a-5)x-3a-1=0

有一个根为2，求另一个根，并确定a的值．

解由方程根的定义知，当x=2时方程成立，所以

322-(2a-5)2-3a-1=0，

故a=3．原方程为

3x2-x-10=0，即(x-2)(3x+5)=0，

中考数学复习指导 一元二次方程的基本解法10

例6解关于x的方程：ax2+c=0(a0)．

分析含有字母系数的方程，一般需要对字母的取值范围进行讨论．

中考数学复习指导 一元二次方程的基本解法11

当c=0时，x1=x2=0；

中考数学复习指导 一元二次方程的基本解法12

当ac＞0(即a，c同号时)，方程无实数根．

　例7若k为正整数，且关于x的方程

(k2-1)x2-6(3k-1)x+72=0

有两个不相等的正整数根，求k的值．

解原方程变形、因式分解为

(k+1)(k-1)x2-6(3k-1)x+72=0，

[(k+1)x-12][(k-1)x-6]=0，

即中考数学复习指导 一元二次方程的基本解法13

中考数学复习指导 一元二次方程的基本解法144，7．所以k=2，3使得x1，x2同时为正整数，但当k=3时，x1=x2=3，与题目不符，所以，只有k=2为所求．

例8关于x的一元二次方程x2-5x=m2-1有实根a和，且｜｜+｜｜6，确定m的取值范围．

解不妨设方程的根，由求根公式得中考数学复习指导 一元二次方程的基本解法15

中考数学复习指导 一元二次方程的基本解法16　

｜｜+｜｜=+=5＜6，符合要求，所以m21．

中考数学复习指导 一元二次方程的基本解法17　中考数学复习指导 一元二次方程的基本解法18　

中考数学复习指导 一元二次方程的基本解法19

中考数学复习指导 一元二次方程的基本解法20

解设小球摆成正三角形时，每边有x个球，则摆成正方形时每边有(x-2)个球．此时正三角形共有球中考数学复习指导 一元二次方程的基本解法21

此时正方形共有(x-2)2个球，所以中考数学复习指导 一元二次方程的基本解法22

即x2-9x+8=0，x1=1，x2=8．

因为x-21，所以x1=1不符合题意，舍去．所以x=8，此时共有球(x-2)2=36个．

　例9有若干个大小相同的球，可将它们摆成正方形或正三角形，摆成正三角形时比摆成正方形时每边多两个球，求球的个数．

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