2016中考数学:锐角三角函数试题解析
一、选择题
1.(2014四川巴中,第8题3分)在Rt△ABC中,C=90,sinA=1/2,则tanB的值为()
A.1 B.3 C.1/2 D.2
考点:锐角三角函数.
分析:根据题意作出直角△ABC,然后根据sinA=,设一条直角边BC为5x,斜边AB为13x,根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度,然后根据三角函数的定义可求出tanB.
解答:∵sinA=,设BC=5x,AB=13x,则AC==12x,
故tanB==.故选D.
点评:本题考查了互余两角三角函数的关系,属于基础题,解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用.
2.(2014山东威海,第8题3分)如图,在下列网格中,小正方形的边长均为1,点A、B、O都在格点上,则AOB的正弦值是()
A.1 B.1/2 C.3/5 D.2/3
考点:锐角三角函数的定义;三角形的面积;勾股定理
分析:作ACOB于点C,利用勾股定理求得AC和AB的长,根据正弦的定义即可求解.
解答:解:作ACOB于点C.
则AC=AB===2,则sinAOB===.
故选D.
点评:本题考查锐角三角函数的定义及运用:在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边.
3.(2014四川凉山州,第10题,4分)在△ABC中,若|cosA﹣|+(1﹣tanB)2=0,则C的度数是()
A.45 B.60 C.75 D.105
考点:特殊角的三角函数值;非负数的性质:绝对值;非负数的性质:偶次方;三角形内角和定理
分析:根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值,继而可得出A和B的度数,根据三角形的内角和定理可得出C的度数.
解答:解:由题意,得cosA=,tanB=1,
A=60,B=45,
C=180﹣A﹣B=180﹣60﹣45=75.
故选:C.
点评:此题考查了特殊角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性,属于基础题,关键是熟记一些特殊角的三角形函数值,也要注意运用三角形的内角和定理.
4.(2014甘肃兰州,第5题4分)如图,在Rt△ABC中,C=90,BC=3,AC=4,那么cosA的值等于()
A.1/2 B.3/5 C.2 D.1/5
考点:锐角三角函数的定义;勾股定理.
分析:首先运用勾股定理求出斜边的长度,再利用锐角三角函数的定义求解.
解答:解:∵在Rt△ABC中,C=90,AC=4,BC=3,
AB=.
cosA=,
故选:D.
点评:本题主要考查了锐角三角函数的定义:在直角三角形中,锐角的余弦为邻边比斜边.
5.(2014广州,第3题3分)如图1,在边长为1的小正方形组成的网格中,的三个顶点均在格点上,则().
(A)(B)(C)(D)
【考点】正切的定义.
【分析】.
【答案】D
6.(2014浙江金华,第6题4分)如图,点A(t,3)在第一象限,OA与x轴所夹的锐角为,则t的值是【】
A.1 B.1.5 C.2 D.3
【答案】C.
【解析】
7.(2014滨州,第11题3分)在Rt△ACB中,C=90,AB=10,sinA=,cosA=,tanA=,则BC的长为()
A.6 B.7.5 C.8 D.12.5
考点:解直角三角形
分析:根据三角函数的定义来解决,由sinA==,得到BC==.
解答:解:∵C=90AB=10,
sinA=,
BC=AB=10=6.
故选A.
点评:本题考查了解直角三角形和勾股定理的应用,注意:在Rt△ACB中,C=90,则sinA=,cosA=,tanA=.
8.(2014扬州,第7题,3分)如图,已知AOB=60,点P在边OA上,OP=12,点M,N在边OB上,PM=PN,若MN=2,则OM=()
A.3 B.4 C.5 D.6
(第1题图)
考点:含30度角的直角三角形;等腰三角形的性质
分析:过P作PDOB,交OB于点D,在直角三角形POD中,利用锐角三角函数定义求出OD的长,再由PM=PN,利用三线合一得到D为MN中点,根据MN求出MD的长,由OD﹣MD即可求出OM的长.
解答:解:过P作PDOB,交OB于点D,
在Rt△OPD中,cos60==,OP=12,
OD=6,
∵PM=PN,PDMN,MN=2,
MD=ND=MN=1,
OM=OD﹣MD=6﹣1=5.
故选C.
点评:此题考查了含30度直角三角形的性质,等腰三角形的性质,熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键.
9.(2014四川自贡,第10题4分)如图,在半径为1的⊙O中,AOB=45,则sinC的值为()
A.1 B.1/2 C.2 D.3
考点:圆周角定理;勾股定理;锐角三角函数的定义
专题:压轴题.
分析:首先过点A作ADOB于点D,由在Rt△AOD中,AOB=45,可求得AD与OD的长,继而可得BD的长,然后由勾股定理求得AB的长,继而可求得sinC的值.
解答:解:过点A作ADOB于点D,
∵在Rt△AOD中,AOB=45,
OD=AD=OAcos45=1=,
BD=OB﹣OD=1﹣,
AB==,
∵AC是⊙O的直径,
ABC=90,AC=2,
sinC=.
故选B.
点评:此题考查了圆周角定理、三角函数以及勾股定理.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
10.(2014浙江湖州,第6题3分)如图,已知Rt△ABC中,C=90,AC=4,tanA=,则BC的长是()
A.2 B.8 C.2 D.4
分析:根据锐角三角函数定义得出tanA=,代入求出即可.
解:∵tanA==,AC=4,BC=2,故选A.
点评:本题考查了锐角三角函数定义的应用,注意:在Rt△ACB中,C=90,sinA=,cosA=,tanA=.
11.(2014广西来宾,第17题3分)如图,Rt△ABC中,C=90,B=30,BC=6,则AB的长为4
考点:解直角三角形.
分析:根据cosB=及特殊角的三角函数值解题.
解答:解:∵cosB=,即cos30=,
AB===4.
故答案为:4.
点评:本题考查了三角函数的定义及特殊角的三角函数值,是基础知识,需要熟练掌握.
12.(2014年贵州安顺,第9题3分)如图,在Rt△ABC中,C=90,A=30,E为AB上一点且AE:EB=4:1,EFAC于F,连接FB,则tanCFB的值等于()
A.30 B.45 C.60 D.15
考点:锐角三角函数的定义..
分析:tanCFB的值就是直角△BCF中,BC与CF的比值,设BC=x,则BC与CF就可以用x表示出来.就可以求解.
解答:解:根据题意:在Rt△ABC中,C=90,A=30,
∵EFAC,
EF∥BC,
∵AE:EB=4:1,
=5,
=,
设AB=2x,则BC=x,AC=x.
在Rt△CFB中有CF=x,BC=x.
则tanCFB==.
故选C.
点评:本题考查锐角三角函数的概念:在直角三角形中,正弦等于对比斜;余弦等于邻边比斜边;正切等于对边比邻边.
13.(2014年广东汕尾,第7题4分)在Rt△ABC中,C=90,若sinA=,则cosB的值是()
A.1 B.3 C.2 D.-1
分析:根据互余两角的三角函数关系进行解答.
解:∵C=90,B=90,cosB=sinA,∵sinA=,cosB=.故选B.
点评:本题考查了互余两角的三角函数关系,熟记关系式是解题的关键.
14.(2014毕节地区,第15题3分)如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O,点C恰好在半圆上,过C作CDAB交AB于D.已知cosACD=,BC=4,则AC的长为()
A.1 B.4
C.3 D.2
考点:圆周角定理;解直角三角形
分析:由以△ABC的边AB为直径的半圆O,点C恰好在半圆上,过C作CDAB交AB于D.易得ACD=B,又由cosACD=,BC=4,即可求得答案.
解答:解:∵AB为直径,
ACB=90,
ACD+BCD=90,
∵CDAB,
BCD+B=90,
ACD,
∵cosACD=,
cosB=,
tanB=,
∵BC=4,
tanB===,
AC=.
故选D.
点评:此题考查了圆周角定理以及三角函数的性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
15.(2014年天津市,第2题3分)cos60的值等于()
A.1/2 B.1 C.3 D.5
点:特殊角的三角函数值.
分析:根据特殊角的三角函数值解题即可.
解答:解:cos60=.
故选A.
点评:本题考查特殊角的三角函数值,准确掌握特殊角的函数值是解题关键.
二、填空题
1.(2014年贵州黔东南11.(4分))cos60=.
考点:特殊角的三角函数值.
分析:根据特殊角的三角函数值计算.
解答:解:cos60=.
点评:本题考查特殊角三角函数值的计算,特殊角三角函数值计算在中考中经常出现,要掌握特殊角度的三角函数值.
2.(2014江苏苏州,第15题3分)如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8.若BPC=BAC,则tanBPC=.
考点:锐角三角函数的定义;等腰三角形的性质;勾股定理
分析:先过点A作AEBC于点E,求得BAE=BAC,故BPC=BAE.再在Rt△BAE中,由勾股定理得AE的长,利用锐角三角函数的定义,求得tanBPC=tanBAE=.
解答:解:过点A作AEBC于点E,
∵AB=AC=5,
BE=BC=8=4,BAE=BAC,
∵BPC=BAC,
BPC=BAE.
在Rt△BAE中,由勾股定理得
AE=,
tanBPC=tanBAE=.
故答案为:.
点评:求锐角的三角函数值的方法:利用锐角三角函数的定义,通过设参数的方法求三角函数值,或者利用同角(或余角)的三角函数关系式求三角函数值.
3.(2014四川内江,第23题,6分)如图,AOB=30,OP平分AOB,PCOB于点C.若OC=2,则PC的长是.
考点:含30度角的直角三角形;勾股定理;矩形的判定与性质.
专题:计算题.
分析:延长CP,与OA交于点Q,过P作PDOA,利用角平分线定理得到PD=PC,在直角三角形OQC中,利用锐角三角函数定义求出QC的长,在直角三角形QDP中,利用锐角三角函数定义表示出PQ,由QP+PC=QC,求出PC的长即可.
解答:解:延长CP,与OA交于点Q,过P作PDOA,
∵OP平分AOB,PDOA,PCOB,
PD=PC,
在Rt△QOC中,AOB=30,OC=2,
QC=OCtan30=2=,APD=30,
在Rt△QPD中,cos30==,即PQ=DP=PC,
QC=PQ+PC,即PC+PC=,
解得:PC=.
故答案为:
点评:此题考查了含30度直角三角形的性质,锐角三角函数定义,熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键.
4.(2014四川宜宾,第16题,3分)规定:sin(﹣x)=﹣sinx,cos(﹣x)=cosx,sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny.
据此判断下列等式成立的是②③④(写出所有正确的序号)
①cos(﹣60
②sin75
③sin2x=2sinx
④sin(x﹣y)=sinxcosy﹣cosxsiny.
考点:锐角三角函数的定义;特殊角的三角函数值.
专题:新定义.
分析:根据已知中的定义以及特殊角的三角函数值即可判断.
解答:解:①cos(﹣60)=cos60=,命题错误;
②sin75=sin(30+45)=sin30cos45+cos30sin45=+=+=,命题正确;
③sin2x=sinxcosx+cosxsinx═2sinxcosx,故命题正确;
④sin(x﹣y)=sinxcos(﹣y)+cosxsin(﹣y)=sinxcosy﹣cosxsiny,命题正确.
故答案是:②③④.
点评:本题考查锐角三角函数以及特殊角的三角函数值,正确理解题目中的定义是关键.
5.(2014甘肃白银、临夏,第15题4分)△ABC中,A、B都是锐角,若sinA=,cosB=,则C=.
考点:特殊角的三角函数值;三角形内角和定理.
分析:先根据特殊角的三角函数值求出A、B的度数,再根据三角形内角和定理求出C即可作出判断.
解答:解:∵△ABC中,A、B都是锐角sinA=,cosB=,
B=60.
C=180﹣A﹣B=180﹣60﹣60=60.
故答案为:60.
点评:本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理,比较简单.
6.(2014广西贺州,第18题3分)网格中的每个小正方形的边长都是1,△ABC每个顶点都在网格的交点处,则sinA=.
考点:锐角三角函数的定义;三角形的面积;勾股定理.
分析:根据正弦是角的对边比斜边,可得答案.
解答:解:如图,作ADBC于D,CEAB于E,
由勾股定理得AB=AC=2,BC=2,AD=3,
由BCAD=ABCE,
即CE==,
sinA===,
故答案为:.
点评:本题考查锐角三角函数的定义及运用:在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边.
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