初中数学《垂直于弦的直径》教案_答题技巧

初中数学《垂直于弦的直径》教案

作课类别课题 24.1.2 垂直于弦的直径课型新授

教学媒体多媒体

教

学

目

标知识

技能 1.通过观察实验，使学生理解圆的对称性.

2.掌握垂径定理及其推论，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题.

过程

方法 1.利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．

2.经历探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.

情感

态度激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望.

教学重点垂径定理及其运用．

教学难点发现并证明垂径定理

教学过程设计

教学程序及教学内容师生行为设计意图

一、导语：直径是圆中特殊的弦，研究直径是研究圆的重要突破口，这节课我们就从对直径的研究开始来研究圆的性质.

二、探究新知

(一)圆的对称性

沿着圆的任意一条直径所在直线对折，重复做几次，看看你能发现什么结论？

得到：把圆沿着它的任意一条直径所在直线对折，直径两旁的两个半圆就会重合在一起，因此，圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.

（二）、垂径定理

完成课本思考

分析：1.如何说明图24.1-7是轴对称图形？

2.你能用不同方法说明图中的线段相等，弧相等吗？

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．

即：直径CD垂直于弦AB则CD平分弦AB，并且平分弦AB所对的两条弧．

推理验证：可以连结OA、OB，证其与AE、BE构成的两个全等三角形，进一步得到不同的等量关系.

分析：垂径定理是由哪几个已知条件得到哪几条结论？

即一条直线若满足过圆心、垂直于弦、则可以推出平分弦、平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣弧.

垂径定理推论

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

思考：1.这条推论是由哪几个已知条件得到哪几条结论？

2.为什么要求“弦不是直径”？否则会出现什么情况？

垂径定理的进一步推广

思考：类似推论的结论还有吗？若有，有几个？分别用语言叙述出来.

归纳：只要已知一条直线满足“垂直于弦、过圆心、平分弦、平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣弧.”中的两个条件，就可以得到另外三个结论.

（三）、垂径定理、推论的应用

完成课本赵州桥问题

分析：1.根据桥的实物图画出的几何图形应是怎样的？

2.结合所画图形思考：圆的半径r、弦心距d、弦长a,弓形高h有怎样的数量关系？

3.在圆中解决有关弦的问题时，常常需要作垂直于弦的直径，作为辅助线，这样就可以把垂径定理和勾股定理结合起来，得到圆的半径r、弦心距d、弦长a的一半之间的关系式:

三、课堂训练

完成课本88页练习

补充：

1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是圆心，其中CD=600m，E为圆O上一点，OECD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径．

2.有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．（当水面距拱顶3米以内时需要采取紧急措施）

四、小结归纳

1. 垂径定理和推论及它们的应用

2. 垂径定理和勾股定理相结合，将圆的问题转化为直角三角形问题.

3.圆中常作辅助线：半径、过圆心的弦的垂线段

五、作业设计

作业：课本94页 1，95页 9，12

补充：已知：在半径为5㎝的⊙O中，两条平行弦AB,CD分别长8㎝，6㎝.求两条平行弦间的距离. 教师从直径引出课题，引起学生思考

学生用纸剪一个圆，按教师要求操作，观察，思考，交流，尝试发现结论.

学生观察图形，结合圆的对称性和相关知识进行思考，尝试得出垂径定理，并从不同角度加以解释.再进行严格的几何证明.

师生分析，进一步理解定理，析出定理的题设和结论.

教师引导学生类比定理独立用类似的方法进行探究，得到推论

学生根据问题进行思考，更好的理解定理和推论，并弄明白它们的区别与联系

学生审题，尝试自己画图，理清题中的数量关系，并思考解决方法，由本节课知识想到作辅助线办法，

教师组织学生进行练习，教师巡回检查，集体交流评价，教师指导学生写出解答过程，体会方法，总结规律.

引导学生分析：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m是否需要采取紧急措施，只要求出DE的长，因此只要求半径R，然后运用几何代数解求R．

让学生尝试归纳，总结，发言，体会，反思，教师点评汇总

通过学生亲自动手操作发现圆的对称性，为后续探究打下基础

通过该问题引起学生思考，进行探究，发现垂径定理，初步感知培养学生的分析能力，解题能力.

为继续探究其推论奠定基础

培养学生解决问题的意识和能力

全面的理解和掌握垂径定理和它的推论，并进行推广，得到其他几个定理，完整的把握所学知识.

体会转化思想，化未知为已知，从而解决本题，同时把握一类题型的解题方法，作辅助线方法.

运用所学知识进行应用，巩固知识，形成做题技巧

让学生通过练习进一步理解，培养学生的应用意识和能力

归纳提升，加强学习反思，帮助学生养成系统整理知识的习惯

巩固深化提高

板书设计

课题

垂径定理垂径定理的进一步推广

赵州桥问题归纳

教学反思

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