走近“数学思考”_课题研究

走近“数学思考”

全日制义务教育《数学课程标准》（以下简称《标准》）指出：知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度是义务教育阶段数学课程的总目标，这“四个方面的目标是一个密切联系的有机整体，对人的发展具有十分重要的作用，它们是在丰富多彩的数学活动中实现的。”对照现行使用的数学教学大纲所提及的数学课程的总目标，《标准》里把“数学思考”放在如此突出的地位，其在促进学生终身发展这一过程中的作用可见一斑。一、提出数学思考的背景

新一轮课程改革是在总结九年义务教育的成绩和经验，并对国际小学数学发展趋势研究的基础上，以适应社会发展和教育发展需要的背景下产生的。著名计算机专家、清华大学教授谭浩强说：“现在，衡量人才的标准已经由知识的积累改变为知识的检索和知识的创造。”现代教育的首要目标应该是，教导学生“如何学习”以及“如何思考”。联合国教科文组织在《学会生存》一书中指出：“教师的职责现在已经越来越少地传授知识，而越来越多地激励思考。”美国小学数学课程标准中提出五项具体的学习目标，其中的一个目标是“学会数学思想方法”。英国的国家数学课程目标中也提出了“使学生有机会运用一系列思考策略进行活动，以巩固和发展相关的知识和技能，发展数学思考能力。”日本在1998年发布了新的“日本数学学习纲要”，提出了“培养学生自主学习和独立思考的能力”的学习目标。因此，从国内外小学数学教育改革的大背景来看，被誉为“思维王国”的数学应该理所当然地要把数学思考当作学习数学的一个重要目标。

二、数学思考及其它的内涵

什么是数学思考？数学思考亦即数学思维，顾名思义，指以数学知识为载体和原料的思维活动过程。我们知道，数学是人们在对客观世界定性把和定量刻画的基础上、逐步抽象概括，形成方法和理论，并在进行应用的过程。这一过程充满着观察、实验、模拟、猜测、矫正调控、探索等。可见，数学有两个侧面，一个是形式层面的数学，即静态的数学，一个是发现层面的数学，即动态的数学。只有把两者结合起来，才是真正的数学。为此，日本学者藤田提出，通过“数学常识”和“数学思维能力”的组合来培养数学智力、学会数学思考的教学目标。

《标准》把发展数学思考具体化为“四个发展”：

1、发展抽象思维。抽象思维是指抽取出同类事物的共同的本质特征的思维形式。《标准》指出：让学生“经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维。”

2、发展形象思维。《标准》中指出：对学生要“丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维。”钱学森教授称形象思维的研究是“思维科学的突破口”。加强形象思维训练，有利于开发右脑功能的潜能，使左右脑和谐直辖市地发展。

3、发展统计观念。加强统计思想和方法的教学是义务教育数学课程改革的趋势之一。《标准》指出：“统计观念主要表现在：能从统计角度思考与数据信息有关的问题；能通过收集数据、描述数据、分析数据的过程作出合理的决策，认识到统计对决策的作用；能对数据的来源、处理数据的方法，以及由此得到的结果进行合理的质疑。”这里提出了统计教学的三个基本目标和要求。通过经历统计过程，使学生感受到统计是实现生活中必不可少的重要知识，并培养学生以随机观点理解客观世界。

4、发展应用意识与推理能力。数学应用是数学教育首要的和基本的目标，也是当前课改的重点内容之中一。关注应用意识的培养，要强调做到“三个主动”：一是主动联系生活实际，在实际背景中应用数学；二是主动运用数学的思想方法解决问题；三是主动探索应用的过程。这样才能真正体现应用的现实性、策略性和探索性。学生在掌握数学知识的过程中要综合运用归纳和演绎两种推理形式。如在数的四则计算教学中既要从实际计算中概括出运算法则，同时又要将法则运用到大量的计算中去。因此，发展学生的推理能力，主要是发展学生归纳推理和演绎推理的能力。

三、把握数学思考的途径

在传统的教学活动中，数学思维就是指《标准》认为：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”倡导新的学习方式、新的思维方式是实施数学思考的主要途径。

1、在动手实践中思考。动手实践就是让学生亲身经历，在动手活动中学数学。它可以使学生在活动中获得真实的情景感受，自己建构知识的过程，而且为情感、态度、价值观健康发展打下基础。在动手实践中应引导学生着重思考；动手实践的目标、策略、起点、方向与程序；观察实践前、中、后情况状态的变化，及“能描述对象的特征和由来；能明确地阐述此对象与有关对象之间的区别和联系”；数学问题的提出与解决的过程；对活动过程的表现、体验及成果进行评价与反思。

2、在自主探索中思考。自主探索是学生根据自己的认识水平和已有的知识经验，在教师的指导和帮助下，通过自己独立探索和发现，从而获取知识的过程。它是发展学生主动性、独立性和创造性的主要途径。自主探索时应着重思考：“对现实生活中有关的数字信息作出合理的解释”；探索信息之间的相互联系，信息与已有知识之间的相互联系；怎样对信息“进行归纳、类比与猜测”；新知识的本质属性是什么；“对结论的合理性作出有说服力的说明”。

3、在合作交流中思考。合作交流是现代学习的重要方式。它不仅有利于发展学生的兴趣和认知能力，同时有利于培养学生的合作意识、合作精神和合作能力。对于哪些思考空间较大的问题，如条件、问题、思路、答案具有探索性和开放性的，宜采用合作学习。合作学习时应着重思考：怎样从不同的角度理解信息、分析信息和利用信息；从观察、实验中发现了什么，有哪些不同的思路和解法；从交流中获得哪些共识，获得哪些知识和经验；采用了哪些有效的学习方法完成特定的数学任务；还有哪些地方不理解等。

四、发展数学思考的要求

发展数学思考能力，《标准》中提出五点要求：

1、要学会“在教师的帮助下”进行思考。《标准》强调了在数学教学活动中，教师应起到“三个作用”：一是“激发学生的学习积极性”；二是“向学生提供充分从事数学活动的机会”；三是“帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验”。学生头脑不会自发产生数学思考，要做到像教育家苏霍姆林斯基所说的，“教师是思考力的培育者，不是知识的注入者。”有了教师的指导，教学活动就不会盲目进行，就会增强目的性和实效性。

2、要学会“在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上”进行思考。学习总是在原不的知识基础上进行的。原有的知识经验是数学思考的基础和起点。例如在学习“分数除法意义”之前，有必要复习整数除法的意义，为学生学习新知识在思考上做好准备。

3、要“学会选择有用信息”进行思考。信息是解决问题的资源。要学会两种方法选择有用的信息：一是学会在生活中选择，能够对现代社会中大量纷繁复杂的信息作出恰当的选择与判断，同时为人们交流信息提供了一种有效、简捷的手段。二是学会在解题中选择，“能根据解决问题的需要，收集有用的信息”。此外，还要学会组合条件，学会从不同角度思考问题，寻找信息与问题的联系，为分析和描述信息打下基础。

4、要学会“利用直观来进行思考”。心理学研究表明：直观、形象、新奇的东西更能引起学生的注意。《标准》指出：“能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。”图形语言是文字语言过渡到符号语言的桥梁。著名的数学家斯蒂思说过：“如果一个特定的问题可以转化为一个图形，那么，思路就整体地把握了问题，并且能创造性思考问题的解法。”因此，解决一个数学问题应该尽量利用直观，达到化难为易、化抽象为形象、化静态为动态的目的。

5、要学会“有条理地、清晰地阐述自己的观点”。思考过程与结果的阐述是传递信息、交流思想、合作学习的重要形式。无论是口头表达还是书面表面，都要“能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；在与他人交流的过程中，能运用数学语言、合乎逻辑地进行讨论与质疑。”有时还要用简明扼要的提示语概括表达的步骤。如推导三角形面积计算公式的表达，可用“一旋转、二平移、三寻找对应、四发现规律”的程序帮助学生有条理地阐述推导的过程。

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