例析一道概率数列综合题_答题技巧

例析一道概率数列综合题

有人玩硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面的概率都为1/2，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、第3站、……第100站，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币棋子向前跳动一次。若掷出正面，棋子向前跳一站，若掷出反面，棋子向前跳两站，直到棋子向前跳到第99站（胜利大本营）或第100站（失败大本营）时，此游戏结束。设棋子向前跳到第站概率为Pn，

（1）求P0,P1，P2；

（2）求证：Pn-Pn-1=-(Pn-1-Pn-2)/2；

（3）求P99及P100。

分析：（1）棋子在第0站为必然事件，故概率为P0=1，若掷一次出正面则P1=1/2，棋子可从第0站向前跳两站直达第2站，也可先跳到第1站，再跳到第2站。故P2=(1/2)(1/2)+(1/2)=3/4。

（2）证明：棋子向前跳到第n站(299)的情况有两种：

第一种，棋子先向前跳到第n-2站,又掷出反面。其概率为Pn-2/2

第二种，棋子先向前跳到第n-1站,又掷出正面。其概率为Pn-1/2

Pn=Pn-2/2 + Pn-1/2，

Pn-Pn-1=-(Pn-1-Pn-2)/2。

（3）解：由（2）知P1-P0，P2-P1，P3-P2，P4-P3，…P99-P98，是首项为P1-P0=-1/2公比为-1/2的等比数列。

P1-P0=-1/2, P2-P1=(-1/2)2, P3-P2=(-1/2)3, …P99-P98=(-1/2)99，以上各式相加得：

P99-1=(-1/2)+(-1/2)2+(-1/2)3+(-1/2)4+…+(-1/2)99=(-1/2)[1-(-1/2)99]/(1+1/2)